Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mặt phẳng ( O x y ) là:

90/120

Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là:

\({\left( {x - \frac{{53}}{{10}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{18}}{5}} \right)^2} + {z^2} = \sqrt {\frac{{821}}{{20}}} \).

\({\left( {x + \frac{{53}}{{10}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{18}}{5}} \right)^2} + {z^2} = \sqrt {\frac{{821}}{{20}}} \).

\({\left( {x - \frac{{53}}{{10}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{18}}{5}} \right)^2} + {z^2} = \frac{{821}}{{20}}\).

\({\left( {x + \frac{{53}}{{10}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{18}}{5}} \right)^2} + {z^2} = \frac{{821}}{{20}}\).

Giải thích

Mặt cầu cần tìm có tâm \(I\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên \(I\left( {a\,;\,b\,;\,0} \right)\).

Mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B nên \(OI = AI = BI\). Như vậy:

\(\left\{ \begin{array}{l}O{I^2} = A{I^2}\\O{I^2} = B{I^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2} + 1\\{a^2} + {b^2} = {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} + 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 6b + 11 = 0\\4a - 2b + 14 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{53}}{{10}}\\b = - \frac{{18}}{5}\end{array} \right.\).

Suy ra mặt cầu có tâm \(I\left( { - \frac{{53}}{{10}}\,;\, - \frac{{18}}{5}\,;\,0} \right)\) và có bán kính \(r = OI = \sqrt {{{\left( { - \frac{{53}}{{10}}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{18}}{5}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{821}}{{20}}} \).

Vậy mặt cầu có phương trình \({\left( {x + \frac{{53}}{{10}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{18}}{5}} \right)^2} + {z^2} = \frac{{821}}{{20}}\). Chọn D.