Hướng dẫn giải1) $1) Một viên bi lăn từ vị trí A đến vị trí D theo đường gấp khúc ABCD hết 21 giây, biết rằng AB = 10cm, BC = 12cm, CD = 6cm (hình vẽ bên). Hỏi nếu viên bi đó lăn theo đoạn thẳng \(AD\) thì hết bao nhiêu giây (ảnh 2)$

Từ \(D\) vẽ \(Dx \bot CD\) cắt tia \(AB\) tại \(E.\)

Xét tứ giác \(BCDE\) có \(\widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {CBE} = 90^\circ \) nên \(BCDE\) là hình chữ nhật.

Do đó \(DE = BC = 12{\rm{\;cm}},\,\,BE = CD = 6{\rm{\;cm}}.\)

Có \(AE = AB + BE = 10 + 6 = 16{\rm{\;cm}}.\)

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ADE\) vuông tại \(E,\) ta được: \(A{D^2} = A{E^2} + D{E^2} = {16^2} + {12^2} = 400.\)

Suy ra \(AD = \sqrt {400} = 20{\rm{\;cm}}.\)

Thời gian viên bi lăn theo đoạn thẳng \(AD\) là \(\frac{{20 \cdot 21}}{{28}} = 15\) (giây).

2)

$1) Một viên bi lăn từ vị trí A đến vị trí D theo đường gấp khúc ABCD hết 21 giây, biết rằng AB = 10cm, BC = 12cm, CD = 6cm (hình vẽ bên). Hỏi nếu viên bi đó lăn theo đoạn thẳng \(AD\) thì hết bao nhiêu giây (ảnh 3)$

a) Ta có \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) \(\left( 1 \right)\) (tính chất hình bình hành)

Mà \(\widehat {HBC} = 180^\circ - \widehat {ABC}\) \(\left( 2 \right)\) (hai góc kề bù)

\(\widehat {KDC} = 180^\circ - \widehat {ADC}\) \(\left( 3 \right)\) (hai góc kề bù)

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\), \(\left( 3 \right)\) suy ra \(\widehat {HBC} = \widehat {KDC}.\)

Xét \(\Delta CHB\) và \(\Delta CKD\) có:

\(\widehat {BHC} = \widehat {DKC} = 90^\circ \) và \(\widehat {HBC} = \widehat {KDC}\)

Do đó ΔCHB∽ΔCKD (g.g).

Suy ra \(\frac{{CH}}{{CK}} = \frac{{CB}}{{CD}}\) (tỉ số cạnh tương ứng), hay \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}\) (tính chất tỉ lệ thức).

b) Ta có \(\widehat {ABC}\) là góc ngoài của \(\Delta BHC\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BHC} + \widehat {BCH} = 90^\circ + \widehat {BCH}\)\(\left( 4 \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BC\,{\rm{//}}\,AD\) và \(AB = CD\) (tính chất hình bình hành)

Mà \(CK \bot AD\) nên \(CK \bot BC\) nên \(\widehat {BCK} = 90^\circ .\)

Do đó \(\widehat {KCH} = \widehat {BCK} + \widehat {BCH} = 90^\circ + \widehat {BCH}\) \(\left( 5 \right)\)

Từ \(\left( 4 \right)\) và \(\left( 5 \right)\) suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {KCH}.\)

Theo câu a, \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}\) mà \(AB = CD\) nên \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{BA}}.\)

Xét \(\Delta CHK\) và \(\Delta BCA\) có: \(\widehat {KCH} = \widehat {ABC}\) và \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{BA}}\)

Do đó ΔCHK∽ΔBCA (c.g.c).

c) Kẻ \(BE \bot AC\) tại \(E\) \(\left( {E \in AC} \right).\)

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AHC\) có: \(\widehat {AEB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) và \(\widehat {HAC}\) là góc chung.

Do đó ΔAEB ∽ ΔAHC (g.g).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AH}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(AB \cdot AH = AC \cdot AE\)\(\left( 6 \right)\)

Xét \(\Delta BCE\) và \(\Delta CAK\) có:

\(\widehat {BEC} = \widehat {CKA} = 90^\circ \) và \(\widehat {BCE} = \widehat {CAK}\) (hai góc so le trong, \(BC\,{\rm{//}}\,DA)\)

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{BC}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{AK}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(BC \cdot AK = AC \cdot CE\)

Mà \(BC = AD\) nên \(AD \cdot AK = AC \cdot CE\) \(\left( 7 \right)\)

Từ \(\left( 6 \right)\) và \(\left( 7 \right)\) suy ra: \(AB \cdot AH + AD \cdot AK = AC \cdot AE + AC \cdot CE\)

Hay \(AB \cdot AH + AD \cdot AK = AC\left( {AE + CE} \right) = A{C^2}.\)

d) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD;\;AD\,{\rm{//}}\,BC\) (tính chất hình bình hành)

Hay \(AM\,{\rm{//}}\,CD;\;AD\,{\rm{//}}\,NC.\)

Vì \(AD\,{\rm{//}}\,NC\) nên ΔINC∽ΔIDA, do đó \(\frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{IA}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) \(\left( 8 \right)\)

Vì \(AM\,{\rm{//}}\,DC\) nên ΔIDC∽ΔIMA, do đó \(\frac{{ID}}{{IM}} = \frac{{IC}}{{IA}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) \(\left( 9 \right)\)

Từ \(\left( 8 \right)\) và \(\left( 9 \right)\) suy ra \(\frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{ID}}{{IM}},\) nên \(IM \cdot IN = I{D^2}.\)

Phương trình (m^2- 4)x = m - 2 có nghiệm duy nhất khi