Xét phương trình \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

⦁ Phương trình (1) có

\[\Delta = {\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - 4\left( {m - 3} \right) = {m^2} - 4m + 4 - 4m + 12 = {m^2} - 8m + 16 = {\left( {m - 4} \right)^2} \ge 0\] với mọi \(m.\)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta > 0,\) tức là \[{\left( {m - 4} \right)^2} > 0,\] suy ra \[{\left( {m - 4} \right)^2} \ne 0\] nên \(m - 4 \ne 0\) hay \(m \ne 4.\)

Với \(m \ne 4,\)phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)thỏa mãn định lí Viète:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = m - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

⦁ Cách 1. Từ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} - 1 = m - 3\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\)

Suy ra \({x_1} + {x_2} - 1 = {x_1}{x_2}\)

\(\left( {{x_1} - {x_1}{x_2}} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) = 0\)

\[{x_1}\left( {{x_2} - 1} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) = 0\]

\(\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right) = 0\)

\({x_2} - 1 = 0\) hoặc \({x_1} - 1 = 0\)

\({x_2} = 1\) hoặc \({x_1} = 1.\)

Trường hợp 1. Nếu \({x_2} = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + 1 = m - 2\\{x_1} \cdot 1 = m - 3\end{array} \right.\) suy ra \({x_1} = m - 3.\)

Theo bài, ta có: \(3{x_1} = x_2^2 + 2\)

\(3\left( {m - 3} \right) = {1^2} + 2\)

\(m - 3 = 1\)

\(m = 4\) (không thỏa mãn \(m \ne 4).\)

Trường hợp 2. Nếu \({x_1} = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}1 + {x_2} = m - 2\\1 \cdot {x_2} = m - 3\end{array} \right.\) suy ra \({x_2} = m - 3.\)

Theo bài, ta có: \(3{x_1} = x_2^2 + 2\)

\(3 \cdot 1 = {\left( {m - 3} \right)^2} + 2\)

\({\left( {m - 3} \right)^2} = 1\)

\(m - 3 = 1\) hoặc \(m - 3 = - 1\)

\(m = 4\) (không thỏa mãn \(m \ne 4)\) hoặc \(m = 2\) (thỏa mãn \(m \ne 4).\)

Vậy \(m = 2.\)

Cách 2. Do \({x_2}\) là một nghiệm của phương trình (1) nên ta có: \(x_2^2 - \left( {m - 2} \right){x_2} + m - 3,\) suy ra \(x_2^2 = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 3.\)

Theo bài, \(3{x_1} = x_2^2 + 2\) nên ta có \(3{x_1} = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 3 + 2\) hay \(3{x_1} = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 5.\,\,\,\,\left( * \right)\)

Từ (2), ta có \({x_1} = m - 2 - {x_2},\) thay vào (*), ta được:

\[3\left( {m - 2 - {x_2}} \right) = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 5\]

\[3m - 6 - 3{x_2} = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 5\]

\[\left( {m + 1} \right){x_2} = 4m - 11\,\,\,\left( {**} \right)\]

Nếu \(m = - 1,\) phương trình \(\left( {**} \right)\) trở thành \(0{x_2} = - 15\) (phương trình này vô nghiệm).

Như vậy, \(m = - 1\) không thỏa mãn.

Nếu \(m \ne - 1,\) thì phương trình \(\left( {**} \right)\) có nghiệm \[{x_2} = \frac{{4m - 11}}{{m + 1}}.\]

Khi đó, \[{x_1} = m - 2 - \frac{{4m - 11}}{{m + 1}} = \frac{{{m^2} + m - 2m - 2 - 4m + 11}}{{m + 1}} = \frac{{{m^2} - 5m + 9}}{{m + 1}}.\]

Thay \[{x_1} = \frac{{{m^2} - 5m + 9}}{{m + 1}}\] và \[{x_2} = \frac{{4m - 11}}{{m + 1}}\] vào \(\left( 3 \right),\) ta được:

\[\frac{{{m^2} - 5m + 9}}{{m + 1}} \cdot \frac{{4m - 11}}{{m + 1}} = m - 3\]

\[\left( {{m^2} - 5m + 9} \right)\left( {4m - 11} \right) = \left( {m - 3} \right){\left( {m + 1} \right)^2}\]

\(4{m^3} - 11{m^2} - 20{m^2} + 55m + 36m - 99 = \left( {m - 3} \right)\left( {{m^2} + 2m + 1} \right)\)

\(4{m^3} - 31{m^2} + 91m - 99 = {m^3} + 2{m^2} + m - 3{m^2} - 6m - 3\)

\(3{m^3} - 30{m^2} + 96m - 96 = 0\)

\(\left( {3{m^3} - 6{m^2}} \right) - \left( {24{m^2} - 48m} \right) + \left( {48m - 96} \right) = 0\)

\(3{m^2}\left( {m - 2} \right) - 24m\left( {m - 2} \right) + 48\left( {m - 2} \right) = 0\)

\(\left( {m - 2} \right)\left( {3{m^2} - 24m + 48} \right) = 0\)

\(\left( {m - 2} \right) \cdot 3\left( {{m^2} - 8m + 16} \right) = 0\)

\(3\left( {m - 2} \right){\left( {m - 4} \right)^2} = 0\)

\(m - 2 = 0\) hoặc \({\left( {m - 4} \right)^2} = 0\)

\(m = 2\) (thỏa mãn \(m \ne - 1,\,\,m \ne 4)\) hoặc \(m = 4\) (không thỏa mãn \(m \ne 4).\)

Vậy \(m = 2.\)

Phương trình ( m − 1 ) x^ 2 + 3 x + 2 m = 0 là phương trình bậc hai một ẩn x khi