Phương trình: log cơ số 5 của (căn bậc hai của (x^2 − 3x + 21)) = 1 (*) Biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: x² – 3x + 21 > 0 (1).

log₅\(\sqrt {{x^2} - 3x + 21} \) = 1 ⇔ \(\sqrt {{x^2} - 3x + 21} \) = 5¹ = 5

⇔ \(\sqrt {{x^2} - 3x + 21} \) = \(\sqrt {25} \) ⇔ x² – 3x + 21 = 25 ⇔ x² – 3x – 4 = 0.

Vậy phương trình (*) có chung tập nghiệm với phương trình x² – 3x – 4 = 0.

b) Sai. Theo câu a), phương trình (*) Û x² – 3x – 4 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\).

Thay lần lượt hai giá trị này vào điều kiện (1), ta được:

\(\left[ \begin{array}{l}{( - 1)^2} - 3 \cdot ( - 1) + 21 = 25 > 0\\{4^2} - 3 \cdot 4 + 21 = 25 > 0\end{array} \right.\)(thỏa mãn điều kiện)

⇒ Phương trình có tập nghiệm là S = {–1; 4}.

⇒ Tổng các nghiệm của phương trình bằng: (–1) + 4 = 3.

c) Sai. Theo câu b), hai nghiệm của phương trình lần lượt là x₁ = –1; x₂ = 4.

Ta có: x₁ + 8 = (–1) + 8 = 7

2x₂ = 2 ⋅ 4 = 8

Mà x₁ + 8 ≠ 2x₂ (do 7 ≠ 8).

Do số đứng giữa không bằng trung bình cộng của hai số hạng kề bên, nên ba số x₁; x₂; 8 không tạo thành một cấp số cộng.

d) Đúng. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} (x - 2)\) = x₁ – 2 = –1 – 2 = –3.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} (x - 2)\) = x₂ – 2 = 4 – 2 = 2.

⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} (x - 2) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} (x - 2)\) = –3 + 2 = –1.