Phương trình log cơ số 2(x^2 − 1) + log cơ số 1/2(x + 5) = log cơ số 2 của 3 có hai nghiệm là x1, x2. Giá trị biểu thức: P = 2x1 + x2 là:

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đổi cơ số \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( A \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{2^{ - 1}}}}\left( A \right) = - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( A \right)\):

Áp dụng quy tắc hiệu hai logarit \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( A \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( B \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {\frac{A}{B}} \right)\):

Giải chi tiết:

ĐKXĐ:

\({x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\) hoặc \(x < - 1\)

\(x + 5 > 0 \Leftrightarrow x > - 5\)

Kết hợp lại: \(x \in \left( { - 5; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Phương trình ban đầu:

                      \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 1} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 5} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3\)

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 1} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + 5} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3\)

       \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 5}}} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3\)

Suy ra:

                                   \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 5}} = 3\)

                                 \({x^2} - 1 = 3\left( {x + 5} \right)\)

                                            \({x^2} - 1 = 3x + 15\)

\(\begin{array}{l}{x^2} - 3x - 16 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{3 + \sqrt {73} }}{2}\left( {TM} \right)\\{x_2} = \frac{{3 - \sqrt {73} }}{2}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Theo định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\), tổng hai nghiệm là:

                \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 3}}{1} = 3\)

Ta có: \(P = {2^{{x_1} + {x_2}}} = {2^3} = 8.\)