Phương trình log √ 3 ( x − 2 ) + log 3 ( x − 4 )^ 2 = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 . Tính giá trị của biểu thức S = ( x1 − x2 )^2

Điều kiện: \(2 < x \ne 4\).

Với điều kiện trên, phương trình đã cho trở thành

\(2{\log _3}\left( {x - 2} \right) + 2{\log _3}\left| {x - 4} \right| = 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x - 2} \right)\left| {x - 4} \right| = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left| {x - 4} \right| = 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 4\\\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\{x^2} - 6x + 7 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 4\\{x^2} - 6x + 9 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt 2 \\x = 3\end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện, PT có nghiệm \({x_1} = 3 + \sqrt 2 ;\,{x_2} = 3\). Vậy \(S = 2\).