Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng ( α ) là:

90/120

Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 1 + t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 - t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{3} - 2t\\\begin{array}{*{20}{c}}{y = t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = \frac{8}{3} + 3t}\end{array}\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{3} + 2t\\\begin{array}{*{20}{c}}{y = t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = \frac{8}{3} - 3t}\end{array}\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Giải thích

Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) thì hình chiếu \(d'\) của d trên \(\left( \alpha \right)\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) và \(\left( \alpha \right)\). Ta cần xác định phương trình của mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).

Vectơ pháp tuyến \({\vec n_\beta }\) của \(\left( \beta \right)\) vuông góc với cả \(\vec u\) và \(\vec n\) nên ta chọn \({\vec n_\beta } = \left[ {\vec u\,,\,\vec n} \right] = \left( { - 2\,;\,8\,;\, - 4} \right)\).

Ngoài ra, \(\left( \beta \right)\) đi qua d nên cũng đi qua điểm \(A\left( {2;\, - 1;\,1} \right)\). Do đó, \(\left( \beta \right)\) có phương trình:

\( - 2\left( {x - 2} \right) + 8\left( {y + 1} \right) - 4\left( {z - 1} \right) = 0\) hay \( - x + 4y - 2z + 8 = 0\).

Suy ra phương trình tham số của hình chiếu \(d'\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{3} - 2t\\\begin{array}{*{20}{c}}{y = t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = \frac{8}{3} + 3t}\end{array}\end{array} \right.\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Chọn C.