Phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng {\Delta }}:x - 2y = 0

83/235

Phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng \({\rm{\Delta }}:x - 2y = 0\), tiếp xúc với đường thẳng \({\rm{\Delta '}}:2x - y + 2 = 0\) đồng thời đường tròn đi qua điểm \(M\left( {1;3} \right)\) là:

\({(x + 2)^2} + {(y + 1)^2} = 5\) và \({\left( {x + \frac{{23}}{4}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{23}}{8}} \right)^2} = \frac{{1445}}{{64}}\)

\({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 5\) và \({\left( {x - \frac{{23}}{4}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{23}}{8}} \right)^2} = \frac{{1445}}{{64}}\)

\({(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} = 5\) và \({\left( {x - \frac{{23}}{4}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{23}}{8}} \right)^2} = \frac{{1445}}{{64}}\)

\({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 5\) và \({\left( {x - \frac{{23}}{4}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{23}}{8}} \right)^2} = \frac{{1885}}{{16}}\)

Giải thích

Phương pháp giải

Gọi tâm của đường tròn cằn tìm là \(I\left( {2t;t} \right) \in {\rm{\Delta }}:x - 2y = 0\)
-Ta có: \(MI = d\left( {I;{\rm{\Delta '}}} \right)\) từ đó tìm được \(t\).
-Viết phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cằu đề bài.

Giải chi tiết

Gọi tâm của đường tròn cằn tìm là \(I\left( {2t;t} \right) \in {\rm{\Delta }}:x - 2y = 0\)
Theo giả thiết, ta có:
\(MI = d\left( {I;{\rm{\Delta '}}} \right) \Leftrightarrow \sqrt {{{(2t - 1)}^2} + {{(t - 3)}^2}} = \frac{{\left| {2.2t - t + 2} \right|}}{{\sqrt 5 }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt {5{t^2} - 10t + 10} = \frac{{\left| {3t + 2} \right|}}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow 8{t^2} - 31t + 23 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \frac{{23}}{8}}\end{array}\)Với \(t = 1\) thì đường tròn cần tìm có tâm \(I\left( {2;1} \right)\), bán kính \(R = IM = \sqrt 5 \), và có phương trình là: \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 5\)
Với \(t = \frac{{23}}{8}\) thì đường tròn cằn tìm có tâm \(I\left( {\frac{{23}}{4};\frac{{23}}{8}} \right)\), bán kính \(R = IM = \frac{{17\sqrt 5 }}{8}\), và có phương trình
|à: \({\left( {x - \frac{{23}}{4}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{23}}{8}} \right)^2} = \frac{{1445}}{{64}}\)
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
\({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 5\) và \({\left( {x - \frac{{23}}{4}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{23}}{8}} \right)^2} = \frac{{1445}}{{64}}\).

Đáp án cần chọn là: B