Phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng Δ 1 , Δ 2 lần lượt tại M , N thỏa mãn M N = 6 √ 5 và d tạo với Δ 1 một góc α sao cho cos α = √ 8 15 là:

90/120

Phương trình đường thẳng \(d\) cắt hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt tại \(M,N\) thỏa mãn \(MN = 6\sqrt 5 \) và \(d\) tạo với \({\Delta _1}\) một góc \(\alpha \) sao cho \(\cos \alpha = \sqrt {\frac{8}{{15}}} \) là:

\(\frac{{x + 7}}{4} = \frac{{y + 11}}{{ - 5}} = \frac{{z - 3}}{2}\).

\(\frac{{x - 7}}{4} = \frac{{y - 11}}{{ - 5}} = \frac{{z + 3}}{2}\).

\(\frac{{x + 7}}{4} = \frac{{y + 11}}{5} = \frac{{z - 3}}{2}\).

\(\frac{{x - 7}}{4} = \frac{{y - 11}}{5} = \frac{{z + 3}}{2}\).

Giải thích

Vì \(M \in {\Delta _1},N \in {\Delta _2}\) nên suy ra \(M\left( {1 + a; - 1 + 2a;3 - a} \right),{\rm{ }}N\left( {2 + 3b;3 + 2b; - 9 - 2b} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {NM} = \left( {a - 3b - 1;2a - 2b - 4; - a + 2b + 12} \right)\).

Theo giả thiết của bài toán, ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}M{N^2} = {\left( {a - 3b - 1} \right)^2} + {\left( {2a - 2b - 4} \right)^2} + {\left( {a - 2b - 12} \right)^2} = 180\\\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {{u_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {NM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {3\left( {2a - 3b - 7} \right)} \right|}}{{6\sqrt {30} }} = \sqrt {\frac{8}{{15}}} \end{array} \right.\]

⇔a−3b−12+2a−2b−42+a−2b−122=180 (1)2a−3b−7=8 (2)

Ta có \((2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2a - 3b - 7 = 8\\2a - 3b - 7 = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{3b + 15}}{2}\\a = \frac{{3b - 1}}{2}\end{array} \right.\)

Với \(a = \frac{{3b + 15}}{2}\) thay vào (1) ta được:

\(\frac{{{{\left( {3b - 13} \right)}^2}}}{4} + {\left( {b + 11} \right)^2} + \frac{{{{\left( {b + 9} \right)}^2}}}{4} = 180 \Leftrightarrow 14{b^2} + 28b + 14 = 0 \Leftrightarrow b = - 1\). Suy ra \(a = 6\).

Khi đó \(\overrightarrow {NM} = \left( {8\,;\,10\,;\,4} \right) = 2\left( {4\,;5\,;\,2} \right)\) và \(M\left( {7;\,11;\, - 3} \right)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\) nhận \({\overrightarrow u _d} = \left( {4\,;\,5\,;\,2} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \(\frac{{x - 7}}{4} = \frac{{y - 11}}{5} = \frac{{z + 3}}{2}\).

Với \(a = \frac{{3b - 1}}{2}\) thay vào (1) ta được:

\(\frac{{{{\left( {3b + 3} \right)}^2}}}{4} + {\left( {b - 5} \right)^2} + \frac{{{{\left( {b + 25} \right)}^2}}}{4} = 180 \Leftrightarrow 14{b^2} + 28b + 14 = 0 \Leftrightarrow b = - 1\).

Vậy đường thẳng \(d\) cần tìm là: \(\frac{{x - 7}}{4} = \frac{{y - 11}}{5} = \frac{{z + 3}}{2}\). Chọn D.