Phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn x 2 1 x 2 2 + x 2 2 x 2 1 ≤ 2 khi và chỉ khi

75/120

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 74 đến 75

Cho phương trình \({7^{m{x^2} + 2x}} = {7^{2mx - m}}\), với m là tham số thực.

Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\)thỏa mãn \(\frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}} \le 2\) khi và chỉ khi

\(m = \frac{1}{2}\).

\(m = 1\).

\(m \le \frac{1}{2}\).

\(m \ne 0\).

Giải thích

Ta có\[{\rm{ }}{7^{m{x^2} + 2x}} = {7^{2mx - m}}{\rm{ }}\left( 1 \right) \Leftrightarrow m{x^2} + 2x = 2mx - m \Leftrightarrow m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\].

Phương trình \(\left( 1 \right)\)có\(2\)nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\)phương trình \(\left( 2 \right)\)có \(2\)nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' = 1 - 2m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\left( * \right)\).

Ta có \(\frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}} \le 2 \Leftrightarrow x_1^4 + x_2^4 \le 2x_1^2x_2^2 \Leftrightarrow {\left( {x_1^2 - x_2^2} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow x_1^2 - x_2^2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{x_1} + {x_2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\ - \frac{b}{a} = \frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{m} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\m = 1\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện \(\left( * \right)\) ta suy ra \(m = \frac{1}{2}\)thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.