Phương trình cos (3pi/4-2x)=sin(x+3pi/4)

\[\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - 2x} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{{3\pi }}{4} - 2x} \right)} \right] = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} - x + l2\pi }\end{array}(k,l \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi  + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{6} + \frac{{l2\pi }}{3}}\end{array}\,\,(k,l \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\)

Ta có:

\(0 < \pi  + k2\pi  < \pi  \Leftrightarrow 0 < 1 + 2k < 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{2} < k < 0\) không có giá trị nào của \(k\) thỏa mãn; \(0 < \frac{\pi }{6} + \frac{{l2\pi }}{3} < \pi  \Leftrightarrow 0 < \frac{1}{6} + \frac{{2l}}{3} < 1 \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} < l < \frac{5}{4}\) suy ra \(l \in \{ 0;1\} \).

Từ đó ta có các nghiệm thỏa mãn ycbt là \(\frac{\pi }{6}\) và \(\frac{{5\pi }}{6}\).

Vậy tổng các nghiệm thuộc khoảng \((0;\pi )\) của phương trình đã cho là \(\frac{\pi }{6} + \frac{{5\pi }}{6} = \pi \).