Hướng dẫn giải

1. Xét tam giác \[ABC\] có

\(K\) là trung điểm của \(AB\);

\(I\) là trung điểm của \(AC\).

Do đó \[KI\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\].

Suy ra \(KI = \frac{1}{2}BC\) hay \(25 = \frac{1}{2}BC\) nên \(BC = 25:\frac{1}{2} = 50\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\)

Do đó độ dài \(BC\) bằng \(50\,\,{\rm{m}}\).

2.

Giữa hai điểm B và C bị ngăn cách bởi hồ nước (như hình vẽ). Xác định độ dài BC mà không cần phải di chuyển qua hồ nước. Biết rằng đoạn thẳng KI dài 25 m và K là trung điểm của AB, I là trung điểm của AC. (ảnh 2)

a) Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta CAB\] có:

\[\widehat {ABH} = \widehat {CBA}\;\left( {\widehat B\;\,{\rm{chung}}} \right)\]

\(\widehat {AHB} = \widehat {CAB}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó ΔABH∽ ΔCBA (g.g) .

b) Lần lượt xét hai tam giác vuông \[ABC\] và \[ABH\] có:

+) \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 90^\circ \) (1)

+) \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 180^\circ - \widehat {AHB} = 90^\circ \) (2)

Từ (1) và (2) nên suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {BAH}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {ABC}\))

Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta CAH\] có:

\(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)

\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA}\;\,\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó ΔABH∽ ΔCAH (g.g) .

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\) hay \(A{H^2} = HB \cdot HC\) (đpcm).

c) Ta có \[AH \bot BC\] mà \[DE{\rm{ // }}AH\] nên suy ra \[DE \bot BC\].

Gọi \[K\] là hình chiếu của \[E\] lên \[AH\].

Từ đó suy ra tứ giác \[EDHK\] là hình chữ nhật có:

+) \(\widehat {EKH} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AKE} = 90^\circ \).

+) \[EK = HD = HA\].

Lại có:

+) \(\widehat {BAC} = \widehat {BAH} + \widehat {KAE} = 90^\circ \).

+) \(\widehat {KAE} + \widehat {KEA} = 180^\circ - \widehat {AKE} = 90^\circ \).

Nên suy ra \(\widehat {AEK} = \widehat {BAH}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {KAE}\)).

Xét \[\Delta AKE\] và \[\Delta BHA\] có:

\(\widehat {AKE} = \widehat {BHA}\;\,\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(EK = AH\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)

\(\widehat {AEK} = \widehat {BAH}\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)

Do đó \(\Delta AKE = \Delta BHA\;\,\left( {{\rm{g}}{\rm{.c}}{\rm{.g}}} \right)\).

Từ đó suy ra \[AE = AB\] (hai cạnh tương ứng).

Phương trình 5 - 12x = 9 - 8x có nghiệm là