Phương trình 2^sin^2x +3^(cos^2x) =4.3^(sin ^2x) có bao nhiêu nghiệm thuộc

Đáp án C.

Đặt t=sin2xt∈0;1  , PT trở thành

2t+31−t=4.3t⇔23t+31−2t−4=0  (1)

Xét hàm số ft=23t+31−2t−4  trên 0;1 .

Đạo hàm f't=23t.ln23−2.31−2t.ln3<0,∀t∈0;1 . Suy ra hàm sốft  nghịch biến trên 0;1 . Như vậy phương trình ft=0  có không quá một nghiệm trên [0;1] .

Nhận thấy f0=230+31−2.0−4=0  nên phương trình (1) có duy nhất một nghiệm t=0∈0;1 . Suy ra sinx=0 ⇔x=kπ,k∈ℤ .

Cho  x∈−2017;2017→−2017≤kπ≤2017→−642,03...≤k≤642,03.Do  k∈ℤnên k∈−642;−641;−640;...;640;641;642 . Vậy có tất cả  642−−642+1=1285 giá trị k nguyên thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1285 nghiệm trên −2017;2017 .