Phần phía trên của cái ly thủy tinh có dạng một hình nón với chiều cao 7 cm, bán kính đáy 4 cm. Tính thể tích của cái ly (bề dày của ly không đáng kể)?
13/14
(2,0 điểm)
5.1. Phần phía trên của cái ly thủy tinh (hình vẽ bên) có dạng một hình nón với các kích thước: chiều cao bằng \[7\]cm, bán kính đường tròn đáy bằng \[4\]cm. Tính thể tích của cái ly (bề dày của ly không đáng kể)? (lấy \(\pi \approx 3,14;\) kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
5.2. Cho tam giác \(ABC\) nhọn, \(AB < AC\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right).\) Gọi \(H\) là hình chiếu \(A\) lên cạnh \(BC;\)\(M,\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên các cạnh \(AB\) và \(AC.\) Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn tâm \(O.\)
a) Chứng minh tứ giác \[AMHN\] nội tiếp và \(\widehat {ANM} = \widehat {ADC}.\)
b) Cho biết\(\;AH = R\sqrt 2 \). Chứng minh ba điểm \[M,\,O,\,N\] thẳng hàng.
5.1 (0,5 điểm) | Thể tích của cái ly là \[V = \frac{1}{3}\pi {.4^2}.7\] | 0,25 |
\( = \frac{{112}}{3}\pi \approx 117,23\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\) | 0,25 | |
5.2 a) (1,0 điểm) |  |
|
Chỉ ra \(\Delta AMH\) vuông tại \(H,\) suy ra ba điểm \(A,H,M\) thuộc đường tròn đường kính \(AH.\) |
0,25 | |
Tương tự ta có ba điểm \(A,H,N\) thuộc đường tròn đường kính \(AH.\) Do đó bốn điểm \(A,M,H,N\) thuộc đường tròn đường kính \(AH,\) nên tứ giác \[AMHN\] nội tiếp. |
0,25 | |
Chứng minh được \(\widehat {ABC} = \widehat {ANM}.\) | 0,25 | |
Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) nên \(\widehat {ANM} = \widehat {ADC}.\) | 0,25 | |
b) (0,5 điểm) | Xét \(\left( O \right)\)có \(AD\) là đường kính nên \(\widehat {ACD} = 90^\circ ,\) suy ra \(\widehat {DAC} + \widehat {ADC} = 90^\circ .\) Mà \(\widehat {ANM} = \widehat {ADC}\) nên \(\widehat {DAC} + \widehat {ANM} = 90^\circ .\) Do đó \(NM \bot AD.\) | 0,25 |
Chỉ ra \[AN.AC = A{H^2},\] mà \(\;AH = R\sqrt 2 \) nên \[AN.AC = 2{R^2} = R.2R = AO.AD,\] suy ra \[\frac{{AN}}{{AD}} = \frac{{AO}}{{AC}} \cdot \] Do đó (c.g.c) nên \(\widehat {AON} = \widehat {ACD} = 90^\circ .\) Do đó \(NO \bot AD.\) Nên ba điểm \[M,\,O,\,N\] thẳng hàng. |
0,25 |