Phần không bị gạch (kể cả biên) trong hình dưới đây biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giả sử đường thẳng a có phương trình: \(y = ax + b\)

Ta có đường thẳng a đi qua điểm \(\left( {2;\,0} \right)\) và \(\left( {0;\,4} \right)\) ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}0 = a.2 + b\\4 = a.0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 4\end{array} \right.\]

Suy ra đường thẳng a có phương trình: \(y = - 2x + 4 \Leftrightarrow 2x + y = 4\).

Xét điểm \(O\left( {0;\,0} \right)\) ta có \(2.0 + 0 < 4\) mà điểm \(O\left( {0;\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình (kể cả đường thẳng a). Do đó bất phương trình có dạng \(2x + y \le 4\).

Giả sử đường thẳng b có phương trình: \(y = a'x + b'\)

Ta có đường thẳng b đi qua điểm \(\left( {1;\,0} \right)\) và \(\left( {0;\,\frac{1}{2}} \right)\) ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}0 = a'.1 + b'\\\frac{1}{2} = a'.0 + b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a' = - \frac{1}{2}\\b' = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

Vậy đường thẳng a có phương trình: \(y = - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \Leftrightarrow x + 2y = 1\)

Xét điểm \(O\left( {0;\,0} \right)\) ta có \(0 + 2.0 < 1\) mà điểm \(O\left( {0;\,0} \right)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình (kể cả đường thẳng b). Do đó bất phương trình có dạng \(x + 2y \ge 1\).

Vậy phần không bị gạch trong hình biểu diễn miền nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \ge 1\\2x + y \le 4\end{array} \right.\).