Parabol (P): y=ax^2 +bx+c nhận ba đường thẳng y=x-5y, y=-3x+3, y=3x-12 làm các tiếp tuyến.

YCBT suy ra các phương trình sau đây đều có nghiệm kép:

ax2+bx+c=x−5⇔ax2+(b−1)x+c+5=0ax2+bx+c=−3x+3⇔ax2+(b+3)x+c−3=0ax2+bx+c=3x−12⇔ax2+(b−3)x+c+12=0

Ta có hệ phương trình

(b−1)2−4a(c+5)=0(b+3)2−4a(c−3)=0(b−3)2−4a(c+12)=0⇔b2−2b+1−4ac−20a=0(1)b2+6b+9−4ac+12a=0(2)b2−6b+9−4ac−48a=0(3)

Từ (1) và (2) suy ra: 8b+8+32a=0

Từ (2) và (3) suy ra: 12b+60a=0

Vậy ta có hệ sau: 4a+b=−15a+b=0

⇒a=1;b=−5

Thay lại vào phương trình (1) ta có c=4

Vậy M=ab+bc=−25