p^2016-1 chia het cho 60

Vì p là số nguyên tố > 5 ⇒ p > 5 ⇒ p lẻ; p ⋮̸ 5

⇒ p ⋮̸ 5; p ⋮̸ 12

⇒ p chia 5 dư 1;2;3;4,, chia 12 dư 1;3;5;7;9;11

⇒ p chia 5 dư ±1; ±2, chia 12 dư ±1;±3:±5

+ Với p ≡ ±1 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶ ≡ 1 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod5)

+ Với p ≡ ±2 (mod5)

⇒p⁴ ≡ 16(mod5) ≡ 1(mod5)

(p⁴)⁵⁰⁴ = p²⁰¹⁶ ≡ 1 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod5)

⇒p²⁰¹⁶ – 1 ⋮ 5, ∀p là số nguyên tố >5(1)

+ Với p ≡ ±1 (mod12)

⇒p²⁰¹⁶ ≡ 1 (mod12)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod12)

+ Với p chia 12 dư ±3

⇒p ⋮ 3. 

Do p là số nguyên tố ⇒ p = 3 < 5 (L)

+ Với p ≡ ±5 (mod12)

⇒p² ≡ 25 (mod12) ≡ 1 (mod12)

⇒(p²)¹⁰⁰⁸ = p²⁰¹⁶ ≡ 1 (mod12)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod12)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ⋮ 12∀p là số nguyên tố >5(2)

Từ 1 và 2 kết hợp ƯCLN(5;12) = 1⇒ p ⋮ 60 (đpcm)