p^2 1/2 và p 1/2 là số chính phương

Lời giải:

Đặt \[\frac{{p + 1}}{2} = {x^2};\frac{{{p^2} + 1}}{2} = {y^2}\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*};x < y} \right)\]

Suy ra: p + 1 = 2x²; p² + 1 = 2y²

⇒ p + 1 = 2x²; p² + 1 = 2y² nên p là số lẻ

Ta dễ thấy rằng 2x² ≡ 2y² (modp) mà p lẻ x² ≡ y² (modp)

Mặt khác ta có: x² – y² = (x – y)(x + y) ⋮ p

⇒ x + y = p (vì x < y < p)

Từ đó ta dễ có rằng p² + 1 = 2(p – x)² = 2p² – 4px + 2x² = 2p² – 4px + p + 1

⇒ 4px = p² + p

⇒ 4x = p + 1

⇒ 2x² = 4x

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}p = - 1\\p = 7\end{array} \right.\)

Mà p là số nguyên tố nên p = 7.

Vậy p = 7.