P ( x ) = ( 1/5 + 2/5 x ) ^14 = a0 + a1 x + … + a13 x13 + a14 x14 . Tổng các giá trị của k thoả mãn hệ số a k ( 0 ≤ k ≤ 14 ) là hệ số lớn nhất trong khai triển trên bằng

82/91

Cho khai triển đa thức $P\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{5} + \frac{2}{5}x} \right)^{14}} = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_{13}}{x^{13}} + {a_{14}}{x^{14}}$. Tổng các giá trị của $k$ thoả mãn hệ số ${a_k}\left( {0 \le k \le 14} \right)$ là hệ số lớn nhất trong khai triển trên bằng ___.

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là: 19

Giải chi tiết

Khai triển nhị thức Newtơn của ${\left( {\frac{1}{5} + \frac{2}{5}x} \right)^{14}}$, ta có:
${(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} x)}^{14} = \sum_{k = 0}^{14} C_{14}^{k} {(\frac{1}{5})}^{14 - k} {(\frac{2}{5} x)}^{k} = \sum_{k = 0}^{14} C_{14}^{k} {(\frac{1}{5})}^{14 - k} {(\frac{2}{5})}^{k} x^{k}$ .
Suy ra: $a_{k} = \sum_{k = 0}^{14} C_{14}^{k} {(\frac{1}{5})}^{14 - k} {(\frac{2}{5})}^{k}$ .
Giả sử ${a_k}$ là hệ số lớn nhất, khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_k} \ge {a_{k + 1}}}\\{{a_k} \ge {a_{k - 1}}}\end{array}} \right.$.
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C_{14}^k{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{14 - k}} \cdot {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^k} \ge C_{14}^{k + 1}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{14 - \left( {k + 1} \right)}} \cdot {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{k + 1}}}\\{C_{14}^k{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{14 - k}} \cdot {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^k} \ge C_{14}^{k - 1}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{14 - \left( {k - 1} \right)}} \cdot {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{k - 1}}}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{14 - k}} \ge \frac{2}{{k + 1}}}\\{\frac{2}{k} \ge \frac{1}{{14 - k + 1}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k \ge 9}\\{k \le 10}\end{array} \Leftrightarrow 9 \le k \le 10} \right.} \right.$Mà $k \in \mathbb{N}$ nên $k \in \left\{ {9;10} \right\}$.
Vậy tổng các giá trị của $k$ thoả mãn là 19 .

Đáp án cần điền là: 19