Ông Tư có khu đất trống dọc bờ sông. Dịp này ông bỏ ra \[15\] triệu đồng làm hàng rào hình

12/22

Ông Tư có khu đất trống dọc bờ sông. Dịp này ông bỏ ra \[15\] triệu đồng làm hàng rào hình chữ E để phân làm hai mảnh vườn hình chữ nhật bằng nhau trồng rau và trồng hoa. Đối với mặt hàng rào song song bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là \[60.000\] đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là \[50.000\] đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của khu vườn thu được.

$Ông Tư có khu đất trống dọc bờ sông. Dịp này ông bỏ ra \[15\] triệu đồng làm hàng rào hình (ảnh 1)$

\[6250\,{m^2}\].

\[1250\,{m^2}\].

\[3125\,{m^2}\].

\[\,50\,{m^2}\].

Giải thích

Ta đặt các kích thước của hàng rào như hình vẽ (với \[x,\,y > 0\] và có đơn vị \[m\])

$Ông Tư có khu đất trống dọc bờ sông. Dịp này ông bỏ ra \[15\] triệu đồng làm hàng rào hình (ảnh 2)$

Khi đó chi phí để trả cho nguyên vật liệu làm hàng rào là: \[3x.50000 + 2y.60000 = 15000000\]

\[ \Leftrightarrow 15x + 12y = 1500\] \[ \Rightarrow y = \frac{{500 - 5x}}{4}\].

Diện tích của khu vườn sau khi được rào lại là \[S = x.2y = 2x.\frac{{500 - 5x}}{4} = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right)\].

Ta có \[S = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right) = \frac{5}{2}\left( { - {x^2} + 2.50x - 2500 + 2500} \right)\].

\[ \Leftrightarrow S = \frac{5}{2}\left[ {2500 - {{\left( {x - 50} \right)}^2}} \right] \le 6250\].

Vậy diện tích khu vườn lớn nhất là \[6250\,{m^2}\]\[ \Leftrightarrow x = 50\].