Ông Sơn muốn xây một bể cá chứa nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích 288 m^3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê công nhân xây

Gọi chiều rộng của đáy bể là \(x{\rm{\;(m)}}\;\left( {x > 0} \right)\).

Khi đó, chiều dài của đáy bể là \(2x{\rm{\;(m)}}\).

Gọi \(h{\rm{\;(m)}}\) là chiều cao của bể cá.

Thể tích của bể cá là: \(V = x \cdot 2x \cdot h = 2{x^2}h = 288 \Rightarrow h = \frac{{144}}{{{x^2}}}\).

Diện tích cần xây dựng (bao gồm diện tích đáy và diện tích 4 mặt bên của bể không nắp):

$S=S_{\text{đáy}}+S_{\text{xung quanh}}=2x\cdot x+2\cdot \left(x\cdot h\right)+2\cdot \left(2x\cdot h\right)=2x^2+6xh$.

Thay \(h = \frac{{144}}{{{x^2}}}\) vào biểu thức diện tích: \(S = 2{x^2} + 6x \cdot \frac{{144}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{864}}{x} = 2{x^2} + \frac{{432}}{x} + \frac{{432}}{x}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho 3 số dương:

\(S \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{432}}{x} \cdot \frac{{432}}{x}}} = 3\sqrt[3]{{2 \cdot 432 \cdot 432}} = 3 \cdot 72 = 216{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Diện tích nhỏ nhất đạt được khi: \(2{x^3} = 432 \Rightarrow {x^3} = 216 \Rightarrow x = 6{\rm{\;m}}\).

Chi phí thuê nhân công thấp nhất là: \(216 \cdot 500\,000 = 108\,000\,000\) (đồng) = 108 (triệu đồng).

Đáp án: 108.