Ông Quang muốn thợ đục cho hũ trà to với dung tích 500 cm^3 và ông muốn sơn hết toàn bộ bề mặt (trừ phần hình tròn đáy ngoài).
86/95
Ông Quang muốn thợ đục cho hũ trà to với dung tích \(500{\mkern 1mu} {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) và ông muốn sơn hết toàn bộ bề mặt (trừ phần hình tròn đáy ngoài). Biết rằng bề dày của mép trên là \(1{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\). Hỏi ông tốn ít nhất bao nhiêu tiền để sơn, biết \(100{\mkern 1mu} {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) tốn hết \(100,000\) đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị và tính bằng đồng)?
\(503{\mkern 1mu} 728\)
\(510{\mkern 1mu} 012\)
\(506{\mkern 1mu} 870\)
\(520{\mkern 1mu} 021\)
Đáp án đúng là: C
Phương pháp giải:
Từ \(V\) tính \(h\) theo \(r\). Lập hàm số \(S\) theo \(r\) và khảo sát tìm giá trị nhỏ nhất.
Giải chi tiết:
Theo đề ta có \((R > r > 0;{\mkern 1mu} h > 0)\).
\[V = \pi {r^2}h = 500 \Rightarrow h = \frac{{500}}{{\pi {r^2}}}.\]
Theo đề, ông Quang sơn: mặt xung quanh phía ngoài, mặt xung quanh phía trong,
hình tròn đáy trong và mép trên, nên diện tích là
\[S = 2\pi Rh + 2\pi rh + \pi {r^2} + \pi {R^2} - \pi {r^2} = 2\pi Rh + 2\pi rh + \pi ({R^2} - {r^2}).\]
Với \(R = r + 1\), ta có
\[S = 2\pi (r + 1)\frac{{500}}{{\pi {r^2}}} + 2\pi r\frac{{500}}{{\pi {r^2}}} + \pi {(r + 1)^2}.\]
\[S = \frac{{1000(r + 1)}}{{{r^2}}} + \frac{{1000}}{r} + \pi {(r + 1)^2}.\]
Áp dụng bất đẳng thức AM–GM, ta được
\[S \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{{{1000}^2}\pi }}{{{r^2}}}}} + \pi .\]
Dấu “=” xảy ra khi
\[r = \sqrt[3]{{\frac{{1000}}{\pi }}}.\]
Số tiền ít nhất phải trả là
\[\left( {3\sqrt[3]{{\frac{{{{1000}^2}\pi }}{{}}}} + \pi } \right) \cdot \frac{{100000}}{{100}} = 506{\mkern 1mu} 870\;{\rm{(d?ng)}}.\]
Đáp án cần chọn là: C.