Ông Khánh dự định dùng hết 5m^2 kính để làm một bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nh

Gọi chiều rộng của đáy bể cá là \(x\) (\(x > 0\), đơn vị: mét).

Do chiều dài gấp đôi chiều rộng nên chiều dài của đáy là \(2x\).

Gọi chiều cao của bể cá là \(h\) (\(h > 0\), đơn vị: mét).

Vì bể cá hình hộp chữ nhật không có nắp nên diện tích kính sử dụng chính là diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy: .

Theo giả thiết, tổng diện tích kính bằng \(5{{\rm{m}}^2}\): \(2{x^2} + 6xh = 5 \Rightarrow 6xh = 5 - 2{x^2} \Rightarrow h = \frac{{5 - 2{x^2}}}{{6x}}\).

Thể tích (dung tích) của bể cá là: \(V = 2x \cdot x \cdot h = 2{x^2} \cdot \left( {\frac{{5 - 2{x^2}}}{{6x}}} \right) = \frac{1}{3}x\left( {5 - 2{x^2}} \right) = \frac{5}{3}x - \frac{2}{3}{x^3}\).

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(V\left( x \right)\) với \(x > 0\):

\(V'\left( x \right) = \frac{5}{3} - 2{x^2}\); \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{5}{6} \Rightarrow x = \sqrt {\frac{5}{6}} \).

Lập bảng biến thiên dễ dàng thấy hàm số đạt cực đại và cũng là giá trị lớn nhất tại \(x = \sqrt {\frac{5}{6}} \).

Giá trị thể tích lớn nhất tương ứng: \(V = \frac{1}{3}\sqrt {\frac{5}{6}} \left( {5 - 2 \cdot \frac{5}{6}} \right) \approx 1,0143\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Làm tròn đến hàng phần trăm ta được \(V \approx 1,01\).

Đáp số: \(1,01\).