Ông Hoàng có một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 60 m và 30 m. Ông chia mảnh vườn thành hai phần bằng một đường tròn tiếp xúc trong với elip để làm mục đích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải.

Elip có \(a = \frac{{60}}{2} = 30\), \(b = \frac{{30}}{2} = 15\).

Đường tròn tiếp xúc trong với elip theo phương trục bé nên bán kính là \(r = b = 15\).

Gán hệ trục tọa độ Oxy sao cho elip tâm \(O(0;0)\), trục lớn trùng Ox, trục bé trùng Oy.

Tính diện tích Elip dựa vào tích phân.

Lời giải chi tiết.

Elip có \(a = \frac{{60}}{2} = 30\), \(b = \frac{{30}}{2} = 15\).

Đường tròn tiếp xúc trong với elip theo phương trục bé nên bán kính là \(r = b = 15\).

Vì trục lớn 60 m, trục nhỏ 30 m nên \(a = 30,b = 15\).

Phương trình elip là \(\frac{{{x^2}}}{{{{30}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{15}^2}}} = 1\) hay \(y = 15\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{900}}} \).

Diện tích elip bằng. \(S = 2\int_{ - 30}^{30} 1 5\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{900}}} dx = 450\pi \).

Diện tích đường tròn là \({S_1} = \pi {r^2} = \pi \cdot {15^2} = 225\pi \).

Diện tích phần trồng hoa màu là \({S_2} = S - {S_1} = 450\pi - 225\pi = 225\pi \).

Tỉ số diện tích cần tìm là \(T = \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{225\pi }}{{225\pi }} = 1\).