Ông An muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ. Biết rằng đường cong phía trên là một parabol, tứ giác

Diện tích phần hình chữ nhật \(ABCD\) là \({S_1} = 2.4 = 8\,{m^2}\). Xét phần diện tích giới hạn bởi parabol và đoạn \(AB\)

Dựng hệ tọa độ \[Oxy\] với \(O\) là trung điểm của đoạn \(AB\), đỉnh \(I\) của parabol nằm trên tia \(Oy\), khi đó ta có \(I\left( {0;1} \right)\), \(A\left( { - 1;0} \right)\), \(B\left( {1;0} \right)\).

Parabol có trục đối xứng \(Oy\) và cắt \(Oy\) tại \(I\left( {0;1} \right)\) nên có phương trình dạng: \(y = a{x^2} + 1,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Parabol qua \(B\left( {1;0} \right)\) nên ta có phương trình : \(a + 1 = 0 \Leftrightarrow a =  - 1\).

Do đó phương trình của parabol là: \(y =  - {x^2} + 1\).

Diện tích phần giới hạn bởi parabol với đoạn \(AB\) là:

\({S_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - {x^2} + 1} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{4}{3}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích toàn bộ phần cánh cửa là \(S = {S_1} + {S_2} = 8 + \frac{4}{3} = \frac{{28}}{3}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Số tiền ông An phải trả bằng \(\frac{{28}}{3}.900000 = 8400000\) (đồng).