Ở nhiệt độ thường (37°C), một phản ứng hóa học từ chất đầu A, chuyển hóa thành chất sản phẩm B theo phương trình: A → B. Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol L−1) tại thời điểm x (giây),

27/40

Ở nhiệt độ thường \(\left( {37^\circ C} \right)\), một phản ứng hóa học từ chất đầu \(A\), chuyển hóa thành chất sản phẩm \(B\) theo phương trình: \(A \to B\). Giả sử \(y\left( x \right)\) là nồng độ chất \(A\)(đơn vị mol \({L^{ - 1}}\)) tại thời điểm \(x\)(giây), \(y\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \ge 0\), thỏa mãn hệ thức \(y'\left( x \right) = - 7 \cdot {10^{ - 4}}y\left( x \right)\) với \(x \ge 0\). Biết rằng tại \(x = 0\), nồng độ (đầu) của \(A\) là \(0,05\) mol \({L^{ - 1}}\). Xét hàm số \(f\left( x \right) = \ln y\left( x \right)\) với \(x \ge 0\). Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. \(f'\left( x \right) = - 7 \cdot {10^{ - 4}}\).

2. \(f\left( x \right) = - 7 \cdot {10^{ - 4}}x + \ln \left( {0,05} \right)\).

3. \(y\left( {30} \right) - y\left( {15} \right) = - 6 \cdot {10^{ - 4}}\).

4. Nồng độ trung bình chất \(A\) từ thời điểm \(15\) giây đến thời điểm \(30\) giây gần bằng là \(0,05\) mol \({L^{ - 1}}\).

Giải thích

1. Đúng. Ta có: \(y'\left( x \right) = - 7 \cdot {10^{ - 4}}y\left( x \right) \Leftrightarrow \frac{{y'\left( x \right)}}{{y\left( x \right)}} = - 7 \cdot {10^{ - 4}}\).

\(f\left( x \right) = \ln y\left( x \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{y'\left( x \right)}}{{y\left( x \right)}} = - 7 \cdot {10^{ - 4}}\).

2. Đúng. Ta có: \(\int {f'\left( x \right)dx} = \int { - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}} dx \Leftrightarrow f\left( x \right) = \ln y\left( x \right) = - 7 \cdot {10^{ - 4}}x + C.\)

Do nồng độ (đầu) của \(A\) là \(0,05\) mol \({L^{ - 1}}\) nên

\(f\left( 0 \right) = \ln 0,05 = - 7 \cdot {10^{ - 4}} \cdot 0 + C \Rightarrow C = \ln 0,05\).

Suy ra \(f\left( x \right) = - 7 \cdot {10^{ - 4}}x + \ln \left( {0,05} \right)\).

3. Sai. Ta có: \(f\left( {30} \right) = - 210 \cdot {10^{ - 4}} + \ln 0,05 \Rightarrow y\left( {30} \right) = {e^{f\left( {30} \right)}} \approx 0,04896\).

\(f\left( {15} \right) = - 105 \cdot {10^{ - 4}} + \ln 0,05 \Rightarrow y\left( {15} \right) = {e^{f\left( {15} \right)}} \approx 0,04948\).

\(y\left( {30} \right) - y\left( {15} \right) \approx - 5,2 \cdot {10^{ - 4}}\).

4. Đúng. \(\ln y\left( x \right) = - 7 \cdot {10^{ - 4}}x + \ln 0,05 \Rightarrow y\left( x \right) = {e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}\).

Nồng độ trung bình chất \(A\) từ thời điểm \(15\) giây đến thời điểm \(30\) giây bằng:

\[\frac{1}{{30 - 15}}\int\limits_{15}^{30} {y\left( x \right)} dx = \frac{1}{{15}}\int\limits_{15}^{30} {{e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}} dx \approx 0,05\](mol \({L^{ - 1}}\)). Chọn 1, 2, 4.