Ở một gian hàng của siêu thị, người ta xếp các khối hàng hình lập phương giống nhau thành hình tháp n tầng, với tầng đáy thứ n có n khối hàng, tầng ngay trên tầng đáy có (n – 1)
5/13
Ở một gian hàng của siêu thị, người ta xếp các khối hàng hình lập phương giống nhau thành hình tháp n tầng, với tầng đáy thứ n có n khối hàng, tầng ngay trên tầng đáy có (n – 1) khối hàng, ..., tầng trên cùng có 1 khối hàng (chẳng hạn với n = 8 ta có cách xếp như minh hoạ ở Hình 7).
a) Tính tổng số S các khối hàng đã xếp ở một hình tháp n tầng.
b) Tìm n, biết S = 120.
a) Tổng số S các khối hàng ở một hình tháp n tầng là:
\(S = 1 + 2 + 3 + \ldots + \left( {n - 1} \right) + n = \frac{{\left( {n + 1} \right) \cdot n}}{2}\) (khối hàng).
b) Ta có: S=120, suy ra: \(\frac{{\left( {n + 1} \right) \cdot n}}{2} = 120\) hay n2+n–240=0.
Phương trình n2+n–240=0 có ∆ = 12 ‒ 4.1.(‒240) = 961 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt {961} = 31.\)
Do đó, phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là
\[{n_1} = \frac{{ - 1 + 31}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{30}}{2} = 15\](thoả mãn);
\[{n_2} = \frac{{ - 1 - 31}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 32}}{2} = - 16\] (không thoả mãn).
Vậy n = 15.