Ở giai đoạn thải trừ, giai đoạn cuối sau khi một người uống một liều thuốc, nồng độ thuốc trong máu, ký hiệu là C(t) (đơn vị: mg/l), giảm dần sau t giờ

Lời giải

Đáp án: 7,8

Bước 1: Tìm hàm nồng độ thuốc \(C(t)\)

Từ phương trình tỉ lệ đã cho, ta lấy nguyên hàm hai vế theo biến \(t\):

\(\int {\frac{{C'(t)}}{{C(t)}}} dt = \int  -  kdt \Leftrightarrow \ln |C(t)| =  - kt + {C_1}\)

Vì nồng độ \(C(t) > 0\), ta có thể viết lại phương trình dưới dạng hàm số mũ:

\(C(t) = {e^{ - kt + {C_1}}} = {e^{{C_1}}} \cdot {e^{ - kt}}\)

Đặt \({C_0} = {e^{{C_1}}}\), ta có công thức tổng quát: \(C(t) = {C_0} \cdot {e^{ - kt}}\)

Bước 2: Tìm các hằng số \({C_0}\) và \(k\)

Tại thời điểm bắt đầu (\(t = 0\)), nồng độ là 12 mg/l: \(C(0) = {C_0} \cdot {e^0} = 12 \Rightarrow {C_0} = 12\)

Vậy hàm số là \(C(t) = 12 \cdot {e^{ - kt}}\).

Sau 6 giờ (\(t = 6\)), nồng độ là 3 mg/l:

\(C(6) = 12 \cdot {e^{ - 6k}} = 3 \Leftrightarrow {e^{ - 6k}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow  - 6k = \ln \left( {\frac{1}{4}} \right) \Rightarrow k = \frac{{ - \ln (0.25)}}{6}\)

Bước 3: Tính thời gian \(t\) khi nồng độ còn 2 mg/l

Ta cần tìm \(t\) sao cho \(C(t) = 2 \Leftrightarrow \) \(12 \cdot {e^{ - kt}} = 2 \Leftrightarrow {e^{ - kt}} = \frac{2}{{12}} = \frac{1}{6} \Leftrightarrow  - kt = \ln \left( {\frac{1}{6}} \right) \Rightarrow t = \frac{{ - \ln (1/6)}}{k}\)

Thay giá trị \(k\) đã tìm được ở trên vào: \(t = \frac{{ - \ln (1/6)}}{{\frac{{ - \ln (0.25)}}{6}}} = \frac{{6 \cdot \ln (6)}}{{\ln (4)}} \approx 7,7548...\)

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười, ta được \(t \approx 7,8\) giờ.