Đáp án đúng là "8"

Phương pháp giải

Đối với hàm số bậc hai trên bậc nhất \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}\) có hai điểm cực trị, đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đó có phương trình: \(y = \frac{{2a}}{d}x + \frac{b}{d}\).

Lời giải

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2m} \right\}\).

Ta có \(y = \frac{{{x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 10}}{{x + 2m}}\)

\(y' = \frac{{{x^2} + 4mx + 2{m^2} - 2m + 10}}{{x + 2m}}\)

Để hàm số \(y = \frac{{{x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 10}}{{x + 2m}}\) có hai điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4mx + 2{m^2} - 2m + 10 = 0\) (1) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 2m\)

\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 2{m^2} + 2m - 10 > 0 \Leftrightarrow 2{m^2} + 2m - 10 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2} \vee m < \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\\{( - 2m)^2} + 4m.( - 2m) + 2{m^2} - 2m + 10 \ne 0 \Leftrightarrow - 2{m^2} - 2m + 10 \ne 0\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow m > \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2} \vee m < \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\).

Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + (m - 1)x - 10}}{{x + 2m}}\) là \(y = 2x + m - 1\).

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

Suy ra \({y_A} = 2{x_A} + m - 1;{y_B} = 2{x_B} + m - 1\) nên \({y_A} - {y_B} = 2{x_A} - 2{x_B}\).

Ta có

\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {2{x_A} - 2{x_B}} \right)}^2}} \)

\[ = \sqrt {5{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2}} = \sqrt {5\left[ {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4{x_A}{x_B}} \right]} \]

Với \(m > \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2} \vee m < \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2},{x_A},{x_B}\) là các nghiệm phân biệt của phương trình (1) nên theo hệ thức Vi - et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} + {x_B} = - 4m}\\{{x_A}.{x_B} = 2{m^2} - 2m + 10}\end{array}} \right.\).

Do đó \(AB = \sqrt {5\left[ {{{( - 4m)}^2} - 4.\left( {2{m^2} - 2m + 10} \right)} \right]} = \sqrt {5\left( {8{m^2} + 8m - 40} \right)} \)

Vì khoảng cách giữa hai điểm cực trị không lớn hơn \(10\sqrt {10} \) nên \(AB \le 10\sqrt {10} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {5\left( {8{m^2} + 8m - 40} \right)} \le 10\sqrt {10} \Leftrightarrow 8{m^2} + 8m - 40 \le 200 \Leftrightarrow - 6 \le x \le 5\).

Kết hợp với \(m > \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2} \vee m < \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\) và \(m\) là số nguyên, ta được \(m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3;2;3;4;5} \right\}\) nên có 8 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.

Nhóm A bao gồm các nguyên tố