Nhân dịp 8/3 bạn An tặng bạn Bình một sợi dây chuyền có mặt là khối tròn xoay hình giọt nước làm bằng đá Moissanite (tham khảo hình 1). Gắn hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên mỗi trục là 5 m m
13/22
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)
Nhân dịp 8/3 bạn An tặng bạn Bình một sợi dây chuyền có mặt là khối tròn xoay hình giọt nước làm bằng đá Moissanite (tham khảo hình 1). Gắn hệ trục tọa độ \[Oxy\](đơn vị trên mỗi trục là \[5mm\]) ta có các số liệu như hình 2. Gọi \[f\left( x \right)\] là hàm số có đồ thị gồm đoạn thẳng \[CD\] và một phần đường tròn tâm \[O\], bán kính bằng 1 đi qua 3 điểm \[A,B,C\].
[TH] Đường cong qua 3 điểm \[A,B,C\] có phương trình là \[y = \sqrt {1 - {x^2}} \left( { - 1 \le x \le \frac{1}{3}} \right)\].
[VD] Biết khối lượng riêng của đá Moissanite là \[\rho = 3,2g/c{m^3}\], khi đó khối lượng của mặt dây chuyền là \[2,2g\](làm tròn đến hàm phần chục).
[TH] Đoạn thẳng \[CD\] có phương trình là \[y = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}x + \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\left( {\frac{1}{3} \le x \le 3} \right)\].
[VD] Thể tích mặt dây chuyền lớn hơn \[5,5c{m^3}\].
a) Đúng. Đường cong đi qua 3 điểm \[A,B,C\] là đường tròn tâm \[O\], bán kính bằng 1.
Phương trình đường tròn là \[{x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt {1 - {x^2}} \].
Do \[\left\{ \begin{array}{l}{x_A},{x_B},{x_C} \in \left[ { - 1;\frac{1}{3}} \right]\\{y_A},{y_B},{y_C} \ge 0\end{array} \right.\] .
nên \[A,B,C\] thuộc cong tròn có phương trình \[y = \sqrt {1 - {x^2}} \left( { - 1 \le x \le \frac{1}{3}} \right)\].
c) Đúng. Ta có \[{y_C} = \sqrt {1 - {x_c}^2} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow C\left( {\frac{1}{3};\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\].
\[D\left( {3;0} \right)\]
\[\overrightarrow {CD} = \left( {\frac{8}{3}; - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\] suy ra VTPT của đường thẳng \[CD\] là \[\left( {\sqrt 2 ;4} \right)\].
Phương trình đường thẳng \[CD\] là
\[\sqrt 2 \left( {x - 3} \right) + 4y = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 x + 4y - 2\sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}x + \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\].
Đoạn thẳng \[CD\] có phương trình là: \[y = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}x + \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\left( {\frac{1}{3} \le x \le 3} \right)\].
d) Sai. Mặt dây chuyền chia thành 2 phần.
Phần 1 là khối tròn xoay tạo được khi xoay đường cong đi qua 3 điểm \[A,B,C\] quanh trục \[Ox\].
Tức là xoay miền hình phẳng sau \[\left\{ \begin{array}{l}y = \sqrt {1 - {x^2}} \\Ox;x = - 1;x = \frac{1}{3}\end{array} \right.\] quanh trục \[Ox\].
\[{V_1} = {5^3}\pi \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{3}} {{{\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \frac{{10000}}{{81}}\pi \left( {m{m^3}} \right)\].
Phần 1 là khối tròn xoay tạo được khi xoay đoạn thẳng \[CD\] quanh trục \[Ox\].
Tức là xoay miền hình phẳng sau \[\left\{ \begin{array}{l}y = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}x + \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\\Ox;x = \frac{1}{3};x = 3\end{array} \right.\] quanh trục \[Ox\].
\[{V_2} = {5^3}\pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^3 {{{\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}x + \frac{{3\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}dx} = \frac{{8000}}{{81}}\pi \left( {m{m^3}} \right)\].
Thể tích mặt dây chuyền là
\[V = {V_1} + {V_2} = \frac{{10000}}{{81}}\pi + \frac{{8000}}{{81}}\pi = \frac{{2000}}{9}\pi \left( {m{m^3}} \right) = \frac{{2\pi }}{9}\left( {c{m^3}} \right) \approx 0,7\left( {c{m^3}} \right)\].
b) Đúng. Khối lượng mặt dây chuyền là: \[m = \rho .V = 3,2.\frac{{2\pi }}{9} \approx 2,2(g)\].