Nhà ông An có một khu vườn hình tam giác \(ABC\), biết rằng

Ta có \(10 \cdot \sin A = 12 \cdot \sin B = 6 \cdot \sin C\)\( \Leftrightarrow \frac{{\sin A}}{6} = \frac{{\sin B}}{5} = \frac{{\sin C}}{{10}} = k\).

Suy ra \(\sin A = 6k;\sin B = 5k;\sin C = 10k\).

Lại có \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \sin C = \frac{{AB}}{{2R}} = \frac{{80}}{{2R}} = \frac{{40}}{R}\)\( \Rightarrow R = \frac{{40}}{{\sin C}} = \frac{4}{k}\).

Vì \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow BC = 2R \cdot \sin A = 2 \cdot \frac{4}{k} \cdot 6k = 48\); \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow AC = 2R\sin B = 2 \cdot \frac{4}{k} \cdot 5k = 40\).

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{48 + 40 + 80}}{2} = 84\).

Diện tích mảnh vườn là \(S = \sqrt {84\left( {84 - 80} \right)\left( {84 - 48} \right)\left( {84 - 40} \right)} \approx 730\) m²