Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy B . Hai nhà máy thoả thuận, mỗi tháng A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 tấn sả

19/25

Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày suy luận. Đối với mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 0,25 điểm.

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thoả thuận, mỗi tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $P\left( x \right) = 45 - 0,001{x^2}$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C\left( x \right) = 100 + 30x$ (triệu đồng) (gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định và $30$ triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Để mỗi tháng thu được lợi nhuận lớn nhất thì $A$ cần bán cho $B$ khoảng bao nhiêu tấn sản phẩm?

Giải thích

Số tiền mà $A$ thu được (gọi là doanh thu) từ việc bán $x$ tấn sản phẩm $\left( {0 \le x \le 100} \right)$ cho $B$ là

$R\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) = 45x - 0,001{x^3}$ (triệu đồng).

Lợi nhuận (triệu đồng) mà $A$ thu được là

$P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) - \left( {100 + 30x} \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100$.

Xét hàm số $P\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100$ với $0 \le x \le 100$, ta có $P'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15;$

$P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5{\kern 1pt} 000 \Leftrightarrow x = 50\sqrt 2 \in \left[ {0\,;100} \right]$.

Ta có $P\left( 0 \right) = - 100$; $P\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100$; $P\left( {100} \right) = 400$.

Bảng biến thiên:

$Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản (ảnh 1)$

Từ bảng biến thiên, ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;100} \right]} P = P\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100$.

Vậy $A$ thu được lợi nhuận lớn nhất khi bán $50\sqrt 2 $ tấn sản phẩm cho $B$ mỗi tháng.

Trả lời: $50\sqrt 2 $.