Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B; Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa 9

21/22

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B; Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa 90 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \[x\]tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \[p(x) = 90 - 0,01{x^2}\] (đơn vị triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất \[x\] tấn sản phẩm trong một tháng là \[C(x) = \frac{1}{2}(200 + 27x)\] (đơn vị triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là 10% tổng doanh thu mỗi tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 2150

Doanh thu: \[R(x) = x \cdot p(x) = x(90 - 0,01{x^2}) = 90x - 0,01{x^3}.\]

Thuế giá trị gia tăng (10% doanh thu): \[T(x) = 0,1 \cdot R(x) = 0,1(90x - 0,01{x^3}) = 9x - 0,001{x^3}\]

Chi phí sản xuất: \[C(x) = \frac{1}{2}(200 + 27x) = 100 + 13,5x.\]

Lợi nhuận sau thuế bằng Doanh thu trừ đi Chi phí và Thuế:

\[\begin{array}{l}L(x) = R(x) - C(x) - T(x) = (90x - 0,01{x^3}) - (100 + 13,5x) - (9x - 0,001{x^3})\\ = - 0,009{x^3} + 67,5x - 100(0 \le x \le 90)\end{array}\]

\[L'(x) = - 0,027{x^2} + 67,5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 50(N)\\x = - 50(L)\end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l}L(0) = - 100\\L(50) = - 0,009({50^3}) + 67,5(50) - 100 = - 1125 + 3375 - 100 = 2150\\L(90) = - 0,009({90^3}) + 67,5(90) - 100 = - 6561 + 6075 - 100 = - 586.\end{array}\]

Kết luận:

Mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là 2150 triệu đồng khi sản xuất và bán ra 50 tấn sản phẩm.