Nhà anh Minh có một cái ao nuôi cá hình chữ nhật ABCD (tham khảo hình vẽ), đợt này vừa có một loại cá giống mới nên anh đã giăng lưới quây lại để nuôi thử nghiệm trên một góc ao của mình.
9/9
(0,5 điểm)
Nhà anh Minh có một cái ao nuôi cá hình chữ nhật \(ABCD\) (tham khảo hình vẽ), đợt này vừa có một loại cá giống mới nên anh đã giăng lưới quây lại để nuôi thử nghiệm trên một góc ao của mình. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí \(M\) ở bờ\(AB\) đến một vị trí \(N\) ở bờ \(AD\) và phải đi qua một cái cọc cố định đã cắm sẵn ở vị trí \(E\). Biết rằng khoảng cách từ cọc \(E\) đến bờ \(AB,AD\) lần lượt là 5 m và 12 m. Hỏi diện tích nhỏ nhất của phần góc ao\(AMN\)mà anh Minh có thể quây được là bao nhiêu?
Gọi khoảng cách từ \(E\) đến \(AB,AD\) lần lượt là \(EH,EK.\)
Đặt \(KN = x\left( m \right)\), đk: \(x > 0\)
Vì nên \[\frac{{KE}}{{HM}} = \frac{{KN}}{{HE}} \Rightarrow \frac{{12}}{{HM}} = \frac{x}{5} \Rightarrow HM = \frac{{60}}{x}\left( m \right)\]
\(\Delta AMN\) vuông tại A nên
\({S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AM.AN\, = \frac{1}{2}.\left( {12 + \frac{{60}}{x}} \right).\left( {5 + x} \right) = \left( {6 + \frac{{30}}{x}} \right).\left( {5 + x} \right)\)
\[ = 30 + 6x + \frac{{150}}{x} + 30\]=\[60 + 6x + \frac{{150}}{x}\].
Chứng minh được \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \). Dấu “=” xảy ra khi \[a = b.\]
\({S_{AMN}} = \)\[60 + 6x + \frac{{150}}{x} \ge 60 + 2\sqrt {6x.\frac{{150}}{x}} \]=120
Dấu “=” xảy ra khi \[6x = \frac{{150}}{x}\] nên \[{x^2} = 25\] suy ra \[x = 5\](TMĐK)
Vậy diện tích nhỏ nhất của phần góc ao\(AMN\) mà anh Thịnh có thể quây được là \(120{m^2}\).