Nguyên hàm I = 1/2 tan x + 1 dx = x/5 + a/b ln | 2 sin x + cos x | + C

17/22

Nguyên hàm \(I = \int {\frac{1}{{2\tan x + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{x}{5} + \frac{a}{b}\ln \left| {2\sin x + \cos x} \right| + C\), với \(a;\,b \in {\mathbb{N}^*}\); \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của \(P = a + 2b\) bằng?

Giải thích

Ta có \(I = \int {\frac{1}{{2\tan x + 1}}{\rm{d}}x} = \int {\frac{{\cos x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} \).

Đặt \(J = \int {\frac{{\sin x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} \).

Khi đó \(2J + I = \int {\frac{{2\sin x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} + \int {\frac{{\cos x}}{{2\sin x + \cos x}}} {\rm{d}}x\)\( = \int {\frac{{2\sin x + \cos x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} = \int {{\rm{d}}x} \)\( = x + {C_1}\)\(\left( 1 \right)\).

Mặt khác ta lại có : \(2I - J = \int {\frac{{2\cos x - \sin x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} \)\( = \ln \left| {2\sin x + \cos x} \right| + {C_2}\)\(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow I = \frac{x}{5} + \frac{2}{5}\ln \left| {2\sin x + \cos x} \right| + C\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a + 2b = 12\).