Đáp số: 114.

Cách 1:

Gọi \(x\) (\(x \in {\mathbb{N}^*}\)) là số lượng sản phẩm doanh nghiệp sản xuất và bán ra trong một tháng.

Lợi nhuận thu được \(P(x)\) bằng tổng doanh thu trừ đi tổng chi phí và tiền thuế.

Dựa vào chính sách thuế, ta thiết lập được hàm số lợi nhuận \(P(x)\) (đơn vị: triệu đồng) phân nhánh như sau:

\(P(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - (x + 200) - 0,1 \cdot 3x = 1,7x - 200}&{{\rm{khi }}0 < x < 100}\\{3x - (x + 200) - 0,08 \cdot 3x = 1,76x - 200}&{{\rm{khi }}100 \le x < 300}\\{3x - (x + 200) - 0,05 \cdot 3x = 1,85x - 200}&{{\rm{khi }}x \ge 300}\end{array}} \right.\)

Xét đạo hàm \(P'(x)\) trên từng khoảng:

Trên \((0;100)\), \(P'(x) = 1,7 > 0\).

Trên \((100;300)\), \(P'(x) = 1,76 > 0\).

Trên \((300; + \infty )\), \(P'(x) = 1,85 > 0\).

Hàm số đồng biến trên từng khoảng.

Xét sự thay đổi lợi nhuận tại các điểm chuyển giao chính sách thuế:

Tại \(x = 100\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{100}^ - }} P(x) = - 30\), trong khi \(P(100) = - 24\). Lợi nhuận tăng do giảm thuế.

Tại \(x = 300\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{300}^ - }} P(x) = 328\), trong khi \(P(300) = 355\). Lợi nhuận tiếp tục tăng.

Từ các yếu tố trên, ta kết luận hàm số \(P(x)\) đồng biến trên toàn bộ tập xác định \({\mathbb{N}^*}\). Do đó, phương trình \(P(x) = 0\) (nếu có) sẽ chia trục số làm hai miền âm - dương phân biệt.

Ta thử tính giá trị hàm số tại các mốc phân nhánh:

\(P(100) = - 24 < 0\) (sản xuất 100 sản phẩm vẫn lỗ).

\(P(300) = 355 > 0\) (sản xuất 300 sản phẩm đã có lãi lớn).

Vì hàm \(P(x)\) đồng biến, khoảng chuyển từ lỗ sang lãi (điểm hòa vốn \(P(x) = 0\)) chắc chắn nằm trong nửa khoảng \([100;300)\).

Ta chỉ cần giải duy nhất một bất phương trình trên khoảng này:

\(1,76x - 200 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{200}}{{1,76}} \approx 113,63\)

Vì \(x \in {\mathbb{N}^*}\), số sản phẩm tối thiểu doanh nghiệp cần sản xuất để bắt đầu có lãi là \(x = 114\) sản phẩm.

Cách 2:

Hàm tổng chi phí \(C(x)\)= Chi phí cố định + Chi phí biến đổi = \(200 + 1.x = 200 + x\)

Hàm tổng doanh thu \(R(x) = 3x\):

Hàm thuế \(T(x)\) (tính theo doanh thu): \(T(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{10\% \cdot 3x = 0,3x}&{{\rm{, }}x < 100}\\{8\% \cdot 3x = 0,24x}&{,100 \le x < 300}\\{5\% \cdot 3x = 0,15x}&{,x \ge 300}\end{array}} \right.\)

Lợi nhuận được xác định bởi công thức: \(L(x) = R(x) - C(x) - T(x)\).

Để doanh nghiệp bắt đầu có lãi, ta cần tìm \(x\) nhỏ nhất sao cho \(L(x) > 0\).

Khoảng 1: \(x < 100\) (Mức thuế 10%)

Ta có phương trình lợi nhuận: \(L(x) = 3x - (200 + x) - 0,3x = 1,7x - 200\)

Xét bất phương trình \(L(x) > 0\): \(1,7x - 200 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{200}}{{1,7}} \approx 117,65\)

Nhận xét: Giá trị \(x > 117,65\) nằm ngoài khoảng đang xét (\(x < 100\)). Do đó, trong khoảng này doanh nghiệp luôn lỗ.

Khoảng 2: \(100 \le x < 300\) (Mức thuế 8%)

Ta có phương trình lợi nhuận:\(L(x) = 3x - (200 + x) - 0,24x = 1,76x - 200\)

Xét bất phương trình \(L(x) > 0\):\(1,76x - 200 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{200}}{{1,76}} \approx 113,636\)

Nhận xét: Giá trị \(x > 113,636\) thỏa mãn điều kiện \(100 \le x < 300\).

Vì \(x\) là số nguyên dương (\(x \in {\mathbb{N}^*}\)), giá trị nhỏ nhất thỏa mãn là \(x = 114\).

Khoảng 3: \(x \ge 300\) (Mức thuế 5%)

Ta có phương trình lợi nhuận: \(L(x) = 3x - (200 + x) - 0,15x = 1,85x - 200\)

Tại \(x = 300\): \(L(300) = 1,85(300) - 200 = 355 > 0\) (Chắc chắn có lãi).

Tuy nhiên, vì ta tìm số sản phẩm tối thiểu, nên kết quả ở Khoảng 2 (\(x = 114\)) là giá trị cần tìm.

Nguyên hàm của hàm số y = 5^x là