a) Đúng. Ta có

\[\begin{array}{l} - 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] \le 3\\ \Rightarrow 7 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] + 10 \le 13\end{array}\]

\[d\left( t \right) = 13\] khi \[\sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right){\rm{ = }}\frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 160 + 360k\].

Mà \[0 < t \le 365\] nên \[0 < 160 + 360k \le 360,\,\,k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0,t = 160.\]

Giá trị lớn nhất của \[d\left( t \right)\] là \[13\] khi \[t = 160\].

Vậy ngày có nhiều giờ ánh sáng nhất là \[13\] giờ, là ngày thứ \[160\] trong năm.

b) Đúng. Hàm \[d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] + 10\] nghịch biến trên \[\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\], trong một chu kì, hàm \[d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] + 10\] nghịch biến trên \[\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\] nên

\[\frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right) < \frac{{3\pi }}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < \frac{1}{{180}}\left( {t - 70} \right) < \frac{3}{2} \Leftrightarrow 90 < t - 70 < 270 \Leftrightarrow 160 < t < 340\].

Vậy kể từ này thứ 161 đến ngày thứ 340, số giờ có ánh sáng của thành phố A bắt đầu giảm.

Tháng 7 năm không nhuận bắt đầu từ ngày thứ \[182\] trong năm.

c) Sai. Theo đề bài ta có

\[d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] + 10 > 10 \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] > 0 \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right) < \pi \]

\[ \Leftrightarrow 0 < t - 70 < 180 \Leftrightarrow 70 < t < 250\].

Số ngày có nắng nhiều hơn 10 giờ là \[250 - 70 = 180\].

d) Đúng. Khi \[t = 70\] thì \[d\left( {70} \right) = 3\sin 0 + 10 = 10\] nên thành phố có \[10\]giờ có ánh sáng.

Nguyên hàm của hàm số f(x) = x^4 + x^2 là: