Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân.

Lời giải

Gọi \(O,I\) lần lượt là tâm của các đường tròn bán kính bằng 20 mét và bán kính bằng 15 mét. Gắn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ, vì \(OI = 30\) mét nên \(I\left( {0;30} \right)\).

Phương trình hai đường tròn lần lượt là\({x^2} + {y^2} = {20^2}\) và \({x^2} + {(y - 30)^2} = {15^2}\).

Gọi \(A,B\) là các giao điểm của hai đường tròn đó.

Tọa độ \(A,B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} = {{20}^2}}\\{{x^2} + {{(y - 30)}^2} = {{15}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pm \frac{{5\sqrt {455} }}{{12}}}\\{y = \frac{{215}}{{12}}}\end{array}} \right.} \right.\).

Tổng diện tích hai đường tròn là \(\pi \left( {{{20}^2} + {{15}^2}} \right) = 625\pi \) (mét vuông).

Phần giao của hai hình tròn chính là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = 30 - \sqrt {{{15}^2} - {x^2}} \) và \(y = \sqrt {{{20}^2} - {x^2}} \). Do đó diện tích phần giao giữa hai hình tròn là

 (mét vuông).

Số tiền để làm phần giao giữa hai hình tròn là \(300.000 \times 60,2546 \approx 18.076.386\) (đồng).

Số tiền để làm phần còn lại là \(100.000 \times \left( {625\pi - 2 \times 60,2546} \right) = 184.299.220\) (đồng).

Vậy tổng số tiền làm sân khấu là \(184.299.220 + 18.076.386 \approx 202.375.606\) (đồng).