Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m. Độ dốc của bề mặt cầu không vượt quá 10°. Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường.

Đáp án: 17,6

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình vẽ trên

\(\left( P \right)\) đi qua các điểm có tọa độ là: \(A( - 200;0)\), \(B(200;0)\), đỉnh parabol có tọa độ là \(I(0;h)\), với \(h\) là chiều cao cần tìm.

\(\left( P \right)\) có đỉnh là \(I(0;h)\), nên \(\left( P \right)\) có dạng: \(y = a{x^2} + h\) (\(a < 0\)).

Vì parabol đi qua điểm \(A( - 200;0)\), ta có:

\(0 = a{( - 200)^2} + h \Rightarrow a =  - \frac{h}{{40000}}\).

Vậy phương trình mô tả bề mặt cầu là:\(y =  - \frac{h}{{40000}}{x^2} + h\).

Độ dốc của bề mặt cầu tại một điểm có hoành độ \(x\) được xác định bởi đạo hàm: \(y' =  - \frac{h}{{20000}}x\)

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tiếp tuyến và phương ngang. Ta có: \(\tan \alpha  = |y'|\).

Độ dốc lớn nhất của cây cầu xảy ra tại hai đầu cầu (\(x =  - 200\) hoặc \(x = 200\)).

Theo đề bài, độ dốc không vượt quá  ${10}^{°}$, tức là: $\tan \alpha \le \tan {10}^{°}$$\Rightarrow \left|y^{\text{'}}\right|\le \tan {10}^{°}$

Tại điểm \[A\] (\(x =  - 200\)):

\(|y'( - 200)| = \left| { - \frac{h}{{20000}} \cdot ( - 200)} \right| = \frac{h}{{100}}\).

Từ đó ta có bất phương trình: $\frac{h}{100}\le \tan {10}^{°}$ $\Rightarrow h\le 100\cdot \tan {10}^{°}\approx \mathrm{17,6}$