Người ta vẽ bảng quy hoạch của một khu định cư được bao xung quanh bởi ba con đường thẳng lập thành một tam giác với độ dài các cạnh là 900 m , 1200 m và 1500 m (Hình vẽ).
3/6
Người ta vẽ bảng quy hoạch của một khu định cư được bao xung quanh bởi ba con đường thẳng lập thành một tam giác với độ dài các cạnh là \(900\;{\rm{m}},1200\;{\rm{m}}\) và 1500 m (Hình vẽ).
a) Tính chu vi và diện tích của phần đất giới hạn bởi tam giác trên.
b) Họ muốn xây dựng một khách sạn bên trong khu dân cư cách đều cả ba con đường đó. Hỏi khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường một khoảng là bao nhiêu?
a) Xét tam giác ABC , ta có: \({\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2}\left( {{{1500}^2} = {{900}^2} + {{1200}^2}} \right)\)
Theo định lí Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại A .
Phần đất giới hạn là tam giác vuông, gọi P là chu vi, ta có: \(P = AB + BC + AC = 900 + 1500 + 1200 = 3600(m)\)
Và diện tích \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{AB}} \cdot {\rm{AC}} = \frac{1}{2} \cdot 900 \cdot 1200 = 540000\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\)
b) Gọi O là nơi xây dựng khách sạn và khoảng cách từ khách sạn đến ba con đường là \({\rm{OH}} = {\rm{OI}} = {\rm{OK}} = {\rm{R}}\).
Ta có: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{AOC}}}}\) (trong đó \({{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}},{{\rm{S}}_{{\rm{AOC}}}},{{\rm{S}}_{{\rm{BOC}}}}\) lần lượt là diện tích các tam giác AOB, AOCvà BOC)
\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{R}} \cdot {\rm{AB}} + \frac{1}{2}{\rm{R}} \cdot {\rm{AC}} + \frac{1}{2}R \cdot BC\)
\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{R}}({\rm{AB}} + {\rm{AC}} + {\rm{BC}})\)
\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{R}} \cdot {\rm{P }}\) (\({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}\)là diện tích và \(P\) là chu vi)\( \Rightarrow {\rm{R}} = \frac{{2 \cdot \;{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}}}{{\rm{P}}} = \frac{{2.540000}}{{3600}} = 300(\;{\rm{m}})\)
Khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường 300 (m).