Người ta trồng một vườn hoa theo hình giới hạn bởi một đường Parabol và nửa đường tròn có bán kính √ 2 m (phần gạch trong hình).

35/50

Người ta trồng một vườn hoa theo hình giới hạn bởi một đường Parabol và nửa đường tròn có bán kính $\sqrt 2 \;m$ (phần gạch trong hình). Biết rằng: để trồng mỗi ${m^2}$ hoa cần ít nhất 250000 đồng, số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu gần bằng

$Nửa đường tròn \(\left( (ảnh 1)$

809365 đồng.

805936 đồng.

808935 đồng.

803695 đồng.

Giải thích

Nửa đường tròn $\left( T \right)$ có phương trình $y = \sqrt {2 - {x^2}} $

Xét parabol $\left( P \right)$ có trục đối xứng $Oy$ nên có phương trình dạng: $y = a{x^2} + c$

$\left( P \right)$ cắt $Oy$ tại điểm $\left( {0; - 1} \right)$ nên ta có: $c = - 1$

$\left( P \right)$ cắt $\left( T \right)$ tại điểm $\left( {1;1} \right)$ thuộc $\left( T \right)$ nên ta được $a + c = 1 \Rightarrow a = 2$.

Phương trình của $\left( P \right)$ là: $y = 2{x^2} - 1$

Diện tích miền phẳng $D$ (gạch trong hình) là:

S=∫−112−x2−2x2+1dx=∫−112−x2dx+∫−11−2x2+1dx.

I1=∫−11−2x2+1dx=−23x3+x−11=23.

Xét , đặt $x = \sqrt 2 {\rm{sin}}t,t \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = \sqrt 2 {\rm{cos}}tdt$.

Đổi cận: Với $x = - 1$ thì $t = - \frac{\pi }{4}$; Với $x = 1$ thì $t = \frac{\pi }{4}$.

I2=∫−π4π42−2sin2t⋅2costdt=∫−π4π42cos2tdt =∫−π4π41+cos2tdt=t+12sin2t−π4π4=1+π2

$ \Rightarrow S = {I_1} + {I_2} = \frac{5}{3} + \frac{\pi }{2}{m^2}$.

Số tiền trồng hoa tối thiểu là: $250000\left( {\frac{5}{3} + \frac{\pi }{2}} \right) \approx 809365$ đồng. Chọn A.