Người ta thiết kế một mái che hình chữ nhật ABCD phía trên sân khấu như hình vẽ. Một cổng chào hình chữ nhật EFHG cao 4 m dựng vuông góc với mặt đất. Người ta muốn làm các đoạn dây nối thanh
16/25
Người ta thiết kế một mái che hình chữ nhật ABCD phía trên sân khấu như hình vẽ. Một cổng chào hình chữ nhật EFHG cao 4 m dựng vuông góc với mặt đất. Người ta muốn làm các đoạn dây nối thanh ngang GE với mái che để gắn hoa và đèn. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ sau (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m).
Khi đó:
Toạ độ A(0; 0; 8), B(0; 20; 8), D(15; 0; 14), C(15; 20; 14).
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {80;0;300} \right)\).
Mặt phẳng (ABCD) có phương trình 4x + 15z – 120 = 0.
Độ dài ngắn nhất của dây nối thanh ngang GE với mái che bằng 1,8 (m) (kết quả làm tròn hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Giả sử toạ độ của các điểm mái che là: A(0; 0; 8), B(0; 20; 8), D(15; 0; 14), C(15; 20; 14).
b) Sai. \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;20;0} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {15;20;6} \right)\).
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {120;0; - 300} \right)\).
c) Sai. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {120;0; - 300} \right)\).
Mặt phẳng (ABCD) đi qua A(0; 0; 8) và chọn \(\vec n = \left( {120;0; - 300} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 120(x – 0) + 0y – 300(z – 8) = 0 ⇔ 120x – 300z + 2400 = 0 hay 2x – 5z + 40 = 0.
d) Sai. Giả sử toạ độ G(8; 0; 4).
Khoảng cách từ điểm G(8; 0; 4) đến mặt phẳng (ABCD) chính là độ dài ngắn nhất từ thanh ngang GE với mái che được tính như sau:
d(G, (ABCD)) = \[\frac{{\left| {8 \cdot 2 - 5 \cdot 4 + 40} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {29} }} \approx 6,7\].