Người ta thấy nước mỗi giờ chảy vào một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là h = 2/7 m. Giả sử h ( t ) là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm t (giây)

Phương pháp giải:

Dùng nguyên hàm tính \(h(t)\). Từ đó giải phương trình \(h(t) = \frac{5}{7}h\) tìm \(t\).

Giải chi tiết:

Ta biết rằng chiều cao \(h(t)\) của mực nước bơm được chính là nguyên hàm của tốc độ tăng \(h'(t)\) của chiều cao mực nước.

   \[h(t) = \int {h'} (t){\mkern 1mu} dt = \int {\frac{1}{{500}}} \sqrt {t + 3} {\mkern 1mu} dt = \frac{3}{{2000}}{(t + 3)^{\frac{4}{3}}} + C.\]

Lúc ban đầu (tại \(t = 0\)) hồ bơi không chứa nước, nghĩa là

                           \[h(0) = 0 \Rightarrow \frac{3}{{2000}}{(0 + 3)^{\frac{4}{3}}} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{7}{{2000}}.\]

Suy ra mực nước bơm tại thời điểm \(t\) là

                   \[h(t) = \frac{3}{{2000}}{(t + 3)^{\frac{4}{3}}} - \frac{7}{{2000}}.\]

Theo giả thiết, lượng nước bơm được \(\frac{5}{7}\) độ sâu của hồ, ta có

                \[h(t) = \frac{5}{7}h = \frac{5}{7} \cdot \frac{2}{7} \Rightarrow \frac{3}{{2000}}{(t + 3)^{\frac{4}{3}}} - \frac{7}{{2000}} = \frac{5}{7} \cdot \frac{2}{7}.\]

          \[ \Leftrightarrow {(t + 3)^{\frac{4}{3}}} = 10004,3267 \Rightarrow t = 5621\;{\rm{s}}.\]

Vậy sau khoảng 1 giờ 34 phút thì nước bơm được \(\frac{5}{7}\) độ sâu của hồ.