Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích (V = 18( {\rm{m}}^{\rm{3}), biết đáy bể là hình chữ

19/22

Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích $V = 18\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp $3$ lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao $h$ bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Gọi $x$$\left( {x > 0} \right)$ là chiều rộng hình chữ nhật đáy bể, suy ra chiều dài hình chữ nhật đáy bể là $3x.$

$V = h.x.3x = h.3{x^2} = 18$$ \Rightarrow h = \frac{{18}}{{3{x^2}}} = \frac{6}{{{x^2}}}$.

Gọi $P$ là diện tích xung quanh cộng với diện tích một đáy bể của hình hộp chữ nhật.

Nguyên vật liệu ít nhất khi $P$ nhỏ nhất.

$P = 2hx + 2.h.3x + 3{x^2} = 2.\frac{6}{{{x^2}}}.x + 2.\frac{6}{{{x^2}}}.3x + 3{x^2} = \frac{{48}}{x} + 3{x^2}.$

Đặt $f\left( x \right) = \frac{{48}}{x} + 3{x^2}$, $\left( {x > 0} \right)$.

Ta có hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$

và$f'\left( x \right) = \frac{{ - 48}}{{{x^2}}} + 6x$,$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 48}}{{{x^2}}} + 6x = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 8 \Leftrightarrow x = 2$.

Bảng biến thiên:

$Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích (V = 18( {\rm{m}}^{\rm{3}), biết đáy bể là hình chữ (ảnh 1)$

Suy ra vật liệu ít nhất khi $h = \frac{6}{{{x^2}}} = \frac{6}{4} = 1,5\left( {\rm{m}} \right)$.