Người ta muốn tạo một giá đỡ bằng sắt bên cạnh một bức tường có hình dạng là đoạn cong BDN như hình vẽ dưới, giá đỡ được gắn với tường bằng ba thanh sắt AB, CD, MN cùng vuông góc với tường (A
15/22
Người ta muốn tạo một giá đỡ bằng sắt bên cạnh một bức tường có hình dạng là đoạn cong \(BDN\) như hình vẽ dưới, giá đỡ được gắn với tường bằng ba thanh sắt \(AB,CD,MN\) cùng vuông góc với tường (\(A,C,M\) thẳng hàng). Giá đỡ được xem như là một phần của đồ thị hàm số \(y = \log x\) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với trục tung trùng với hình chiếu vuông góc của giá đỡ lên mặt tường (đơn vị trên trục tính bằng mét). Biết \(AB = 10\,{\rm{cm}}\), \(AM = 1,4\,{\rm{m}}\) và độ dài phần đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) được tính theo công thức \(L = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} {\rm{d}}x} \).
Đạo hàm của hàm số \(y = \log x\) là \(y' = \frac{1}{{x\ln 10}}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), điểm \(B\) có hoành độ bằng \(0,1\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), điểm \(N\) có tung độ bằng \(1,4\).
Độ dài giá đỡ bằng \(2,97\) mét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
a) Ta có đạo hàm hàm số \(y = \log x\) là \(y' = \frac{1}{{x\ln 10}}\).
Chọn Đúng.
b) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ là điểm \(O\). Khi đó hoành độ điểm \(B\) là \(0,1\).
Chọn Đúng.
c) Ta có tung độ điểm \(B\) là \({y_B} = \log 0,1 = - 1\) suy ra tọa độ điểm \(B\left( {0,1; - 1} \right)\).
Do khoảng cách \(AM = 1,4\,m\) suy ra tung độ điểm \(N\) là \({y_N} = 1,4 - 1 = 0,4\).
Chọn Sai.
d) Ta có \({y_N} = \log {x_N} \Leftrightarrow {x_N} = {10^{{y_N}}} = {10^{0,4}}\)
Độ dài giá đỡ bằng \(L = \int\limits_{0,1}^{{{10}^{0,4}}} {\sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{{x\ln 10}}} \right)}^2}} dx \approx 2,97\,m} \).
Chọn Đúng.