Người ta muốn làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông và thể tích là 10 l. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hộp là bao nhiêu?

Gọi x (dm) là độ dài cạnh đáy của chiếc hộp hình hộp chữ nhật (x > 0).

Khi đó, chiều cao của chiếc hộp là \(\frac{{10}}{{{x^2}}}\) (dm).

Diện tích toàn phần của chiếc hộp là

S = 2S_đáy + S_xq = 2x² + 4x.\(\frac{{10}}{{{x^2}}}\) = 2x² + \(\frac{{40}}{x}\) (dm²).

Ta có: S' = 4x – \(\frac{{40}}{{{x^2}}}\)

           S' = 0 ⇔ x = \(\sqrt[3]{{10}}\).

Ta có bảng xét dấu như sau:

Do đó, diện tích toàn phần nhỏ nhất là S = \(6\sqrt[3]{{100}}\) dm² khi x = \(\sqrt[3]{{10}}\) dm.