Người ta muốn dựng một khung cổng hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 3cm được bao bởi một khung thép có dạng nửa đường tròn tâm F bán kínhFA (như hình 3).
22/29
Người ta muốn dựng một khung cổng hình vuông \[ABCD\] có độ dài cạnh bằng \[3{\rm{ cm}}\] được bao bởi một khung thép có dạng nửa đường tròn tâm \(F\) bán kính \[FA\] (như hình 3).
a) Độ dài đoạn thẳng \[OA\] là \(1,5\sqrt 2 \;\,{\rm{m}}\).
b) Độ dài đoạn thẳng \(HG = 3\sqrt 5 \;\,{\rm{m}}\).
c) Độ dài cung \[GAH\] là \(3\sqrt 5 \pi \,\,{\rm{m}}\).
d) Người ta muốn sơn toàn bộ nửa hình tròn (không sơn phần cổng \[ABCD).\] Giá tiền sơn\(30\,\,000\) đồng\({\rm{/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\) Biết \(\pi = 3,14\) kết quả làm tròn đến nghìn đồng. Số tiền sơn là \[1\,\,059\] (nghìn đồng).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
a) Ta có \[ABCD\] là hình vuông nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) và \(BC = CD = AD = AB = 3{\rm{\;m}}\).
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), theo định lí Pythagore, ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {3^2} = 18.\)
Suy ra \(AC = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Do đó \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt 2 = 1,5\sqrt 2 {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
b) Ta có \(F\) là trung điểm của \(CD\) nên \(FD = FC = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Xét \(\Delta ADF\) vuông tại \(D\), theo định lí Pythagore, ta có:
\(F{A^2} = A{D^2} + D{F^2} = {3^2} + 1,{5^2} = 11,25\).
Suy ra \(FA = \sqrt {11,25} = 1,5\sqrt 5 {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Do đó \(HG = 2FA = 2 \cdot 1,5\sqrt 5 = 3\sqrt 5 {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
c) Độ dài cung \[GAH\] là \(\pi \cdot FA = \pi \cdot 1,5\sqrt 5 = 1,5\sqrt 5 \pi {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
d) Diện tích cần sơn là \(\frac{1}{2}\pi \cdot F{A^2} - {S_{ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot 3,14 \cdot {\left( {1,5\sqrt 5 } \right)^2} - {3^2} = 8,6625{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Số tiền sơn là \(8,6625 \cdot 30\,\,000 \approx 260\,\,000\) (đồng).