Người ta muốn dựng một cột ăng-ten trên một sườn đồi. Ăng-ten được dựng thẳng trong không gian Oxyz với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi O là gốc cột, A là điểm buộc dây cáp vào cột
22/25
Người ta muốn dựng một cột ăng-ten trên một sườn đồi. Ăng-ten được dựng thẳng trong không gian Oxyz với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi O là gốc cột, A là điểm buộc dây cáp vào cột ăng-ten và M, N là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi. Cho biết tọa độ các điểm lần lượt là O(0; 0; 0), A(0; 0; 6), M(3; -4; 3), N(-5; -2; 2). Góc tạo bởi các sợi dây cáp MA với mặt phẳng sườn đồi bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 53.
Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( { - 3;\,\,4;\,\,3} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {MA} = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} = \sqrt {34} \approx 5,8\)(m)
Mặt phẳng (OMN) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {OM} = \left( {3;\,\, - 4;\,\,3} \right)\), \(\overrightarrow {ON} = \left( { - 5;\,\, - 2;\,\,2} \right)\) nên có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right] = \left( { - 2;\,\, - 21;\,\, - 26} \right)\).
Gọi a là góc tạo bởi MA với mặt phẳng (AMN).
Ta có:
sin a =\(\frac{{\left| {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + 4 \cdot \left( { - 21} \right) + 3 \cdot \left( { - 26} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 21} \right)}^2} + {{\left( { - 26} \right)}^2}} }} = \frac{{156}}{{\sqrt {38114} }}\)
\( \Rightarrow \alpha \approx 53^\circ \).