Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm^3, chiều cao của hộp là 2 cm. Tìm kích thước đáy của hộp sao cho sử dụng ít vật liệu nhất.

Gọi chiều rộng của đáy hộp là \(x\)( \(x > 0\), cm).

                 Ta có chiều dài của hộp là \(\frac{{500}}{{2x}}\) (cm)

                 Ta có diện tích toàn phần của chiếc hộp là

                 \(S = 2x \cdot \frac{{500}}{{2x}} + 2\left( {x + \frac{{500}}{{2x}}} \right) \cdot 2 = 500 + 2x + \frac{{250}}{x}\) (cm2)

                 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực dương \(2x\) và \(\frac{{250}}{x}\), ta có

                 \(2x + \frac{{250}}{x} \ge 2\sqrt {2x \cdot \frac{{250}}{x}}  = 20\sqrt 5 \)

                 Từ đó  \(S \ge 500 + 20\sqrt 5 \,\,\) (cm2)

                 Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(2x = \frac{{250}}{x}\) hay \({x^2} = \frac{{250}}{2} = 125\)

                 Suy ra \(x = 5\sqrt 5 \)cm, từ đó \(\frac{{250}}{{5\sqrt 5 }} = 10\sqrt 5 \)cm.

                 Vậy chiều rộng của hộp là \(5\sqrt 5 \)cm, chiều dài là \(10\sqrt 5 \)cm.

            Chứng minh bổ sung Bất đẳng thức Cauchy

            Xét hai số thực dương \(a\), \(b\)ta có \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \).

            Thật vậy, vì \(a\), \(b\) là các số thực dương nên

            Từ \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \), suy ra \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

            Hay \({\left( {\sqrt a } \right)^2} + {\left( {\sqrt b } \right)^2} - 2\sqrt {ab}  \ge 0\)

                    \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng)

            Vậy với hai số thực dương \(a\), \(b\) bất kỳ ta có \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \).

            Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(a = b\)