Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình chữ nhật có thể tích 800 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao hộp là 8 cm, các kích thước khác là x (cm), y (cm) với x > 0 và y > 0.

a) Ta có: V = 800 = 8xy ⇒ y = \(\frac{{800}}{{8x}} = \frac{{100}}{x}\).

b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là:

S(x) = 2(x + y).8 + 2xy = 16\(\left( {x + \frac{{100}}{x}} \right)\) + 2x. \(\frac{{100}}{x}\) = 16x + \(\frac{{1600}}{x}\) + 200.

c) S(x) = 16x + \(\frac{{1600}}{x}\) + 200, với x > 0.

    S'(x) = 16 – \(\frac{{1600}}{{{x^2}}}\)

    S'(x) = 0 ⇔ x² = 100 ⇔ x = 10.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên (10; +∞), hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 10).

d) Khi x = 10 thì hàm số S(x) đạt giá trị nhỏ nhất và S(10) = 520.

Lúc này, y = \(\frac{{100}}{x} = \frac{{100}}{{10}}\) = 10, nghĩa là khi làm đáy hộp là hình vuông có cạnh bằng 10 cm thì sẽ tiết kiệm vật liệu nhất.